一道线性变换初等数学考题解析

　　摘要： 每一年的高考数学试卷中总有一些以高等数学背景立意的题目，此类题视角新颖，能力要求高，既考查考生的思维力水平和继续学习能力，又体现高等数学与初等数学的链接。本文以四川省2009年高考文科第16题为例，分析题目中用到的高等数学线性变换知识点，从不同角度体会其命题立意，使读者能对此类题目有一个深入的理解。
　　关键词： 线性变换 初等数学 基本概念教学
　　
　　1.试题与背景
　　（四川高考09文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V→V，a∈V，记a的像为f（a）。若映射f:V→V满足：对所有a，b∈V及任意实数λ，μ都有
　　f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：
　　①设f是平面M上的线性变换，a，b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）;
　　②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
　　③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
　　④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k，均有f（ka）=kf（a）.
　　其中真命题是 .（写出所有真命题的编号）
　　本题以高等代数线性变换定义为背景。线性变换在高等代数中的定义是：设V是数域F上的线性空间，T是V的一个变换，如果对V中任意的向量，和F中任意的数k，都有1）T（+）=T（）+T（）;2）T（k）=kT（）则称T为V的一个线性变换.
　　可见，一个线性空间V中，若存在一个映射（变换）T，T保持V中任意元素和的映射等于映射的和，数乘的映射等于映射的数乘，即保持映射的线性不变，则可称T为V的一个线性变换.
　　2.分析与解答
　　分析：由题可知，在平面M上所有向量的集合中，（1）存在映射f:V→V，即a→f（a）;（2）?坌a，b∈V，?坌λ，μ∈R，都满足f（λa+μb）=λf（a）+μf（b）.其中（1）体现映射封闭，（2）体现线性运算.要求解，则要分析各项是否符合上述条件.
　　解:①若f是平面M上的线性变换，由条件对?坌a，b∈V，?坌λ，μ∈R，有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b）成立。取λ=μ=1，得f（a+b）=f（a）+f（b），可见①真；
　　②取λ=μ=1，任意?坌a，b∈V，由条件可得f（a+b）=a+b+e，而f（a）=a+e，f（b）=b+e，则f（a）+f（b）=a+b+2e，于是f（a+b）≠f（a）+f（b）;证②假；
　　③?坌a，b∈V，?坌λ，μ∈R得
　　f（λa+μb）=-（λa+μb），λf（a）=λ（-a）=-λa，μf（b）=μ（-b）=-μb，又
　　λf（a）+μf（b）=-（λa+μb），于是f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），可证③真；
　　④若f是平面M上的线性变换，由条件对?坌a，b∈V，?坌λ，μ∈R有
　　f（λa+μb）=λf（a）+μf（b）成立。取λ=k，μ=0，得f（k•a+0•b）=kf（a）+0•f（b），整理得f（ka）=kf（a），可证④真；综上，真命题为：①③④.
　　3.教学启示
　　线性变换是高等代数中一个高度抽象的知识点，考虑到高中生认知特点和高考要求，高考题往往避免对概念抽象证明，而是把概念与具体情境相联系.因此，教师应当重视基本概念的教学，应尽可能地创设使学生容易理解的概念情境，让学生在实例中真正理解并应用.
　　4.同类题目
　　（1）平面直角坐标系中，设V为起点在原点，终点在y=2x上所有向量的集合，对于映射f:V→V，∈V，记的像为f（）。若映射f:V→V满足：对所有，∈V及任意实数k都有1）f（+）=f（）+f（），2）f（k）=kf（），则f称为V中的线性变换。现有下列命题：
　　①f是V中线性变换，?坌，∈V，?坌λ，μ∈R，则f（λ+μ）=λf（）+μf（）；
　　②若f（）=+γ，其中?坌∈V，为V中固定向量，则f是V中线性变换；
　　③若f（）=，其中?坌∈V，则f是V中线性变换；
　　④f（）=-，其中?坌∈V，则f是V中线性变换；
　　其中真命题是： .（写出所有真命题的编号）答案：①③④.
　　（2）设V是空间直角坐标内所有向量的集合，对于映射f:V→V，=（x，y，z），∈V，记的像为f（）。若映射f:V→V满足：对所有，∈V及任意实数k都有：
　　1）f（+）=f（）+f（），2）f（k）=kf（），则f称为V中的线性变换.现有下列映射：
　　①f（x，y，z）=（x+y，y+z，z+x）;
　　②f（x，y，z）=（1，xyz，1）;
　　③f（x，y，z）=（0，x+y+z，0）;
　　④f（x，y，z）=（x，y+z，z）.
　　则上述映射可称为线性变换的是：.答案：①③.
　　（3）记V为所有整系数多项式
　　f（x）=ax+ax+…+ax+ax+a，a，a，…，a∈Z，n∈N
　　的集合，对于映射T:V→V，f（x）∈V，记f（x）的像为T［f（x）］，若映射T:V→V满足：对所有f（x），g（x）∈V及任意实数k都有
　　1）T［f（x）+g（x）］=T［f（x）］+T［g（x）］，2）T［kf（x）］=kT［f（x）］，则f称为V中的线性变换。现有下列映射：
　　①T［f（x）］=f（x+1）
　　②T［f（x）］=f（x）+x
　　③T［f（x）］=xf（x）
　　④T［f（x）］=f（x）•f′（x）
　　⑤T［f（x）］=f（x）+f′（x）
　　则可称为线性变换的映射是：.答案：①③⑤.
　　
　　参考文献：
　　［1］华南师范大学数学系代数教研室编.高等代数.广州：华南理工大学出版社，1994，8.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”