高等数学中整体思想的具体运用

　　摘 要： 整体思想在高等数学中应用广泛，本文主要从整体解析、整体换元、整体配凑三个方面用具体的例子来说明整体思想在教学过程中的应用。
　　关键词： 高等数学 整体思想 具体运用
　　
　　数学教学不能仅仅满足数学知识的灌输，还应重视能力和素质的培养，使学生掌握最本质的东西——数学思想.数学思想是数学的灵魂，是对数学知识、方法和数学规律的本质认识;而整体思想正是数学思想中的重要组成部分，是解决数学问题的重要策略.整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，触及问题的本质，从而进行有目的的、有意识的整体处理.将整体思想渗透到数学教学及解题中，使学生体会并能灵活运用，这将有利于整个高等数学的学习.教师应该仔细专研教材，挖掘教材中的整体思想，设计整体思想的讲授方法.本文将从以下几个方面说明整体思想的具体运用.
　　一、整体解析
　　纵观全局或改变思考问题的角度，或调整问题的结构形式，将问题的规律、特征明朗化，从而得到全新的思路.高等数学中复合函数的相关内容都应该用整体思想去分析和思考，具体地应用在复合函数的解析式分析、定义域的求解、求导运算，以及幂级数展开，当然还有变限积分函数的求导运算也离不开整体思想.
　　例1：设f（x）=x-x，求f（-x），f［f（x）］.
　　分析:其运算规则看成是f（）=（）-（），那么（）就是一个整体符号，要求f（-x）及f［f（x）］，就是将-x，f（x）为一整体分别代入（）即可，即
　　f（-x）=（-x）-（-x）=x+x.
　　f［f（x）］=f（x-x）=（x-x）-（x-x）=x-2x+x.
　　例2:求函数y=arcsin+的定义域.
　　分析:函数的定义域就是使f（x）有意义的全体x的集合.我们对自然定义域的几种情况已经很熟悉，这里涉及到反正弦y=arcsinx中的x必须满足-1≤x≤1，负数不能开偶次方及分母不等于零.在求解过程中引入整体概念，可将、25-x看成整体，其中整体充当y=arcsinx中x的位置，所以应当介于-1到1之间，即-1≤≤1;同时25-x整体充当y=中的x，并且还在分母的位置上，所以有25-x>0，然后求两个不等式解集并求交集即可.
　　例3:已知y=（x+2），求y′.
　　分析:对于一般函数都有［f（）］′=f′（）•（）′，那么对于复合函数y=（x+2）（由y=u与u=x+2复合而成）就是将x+2作为一整体放入到（）中，这样对于复合函数求导就非常方便和简单了，即：
　　y′=30（x+2）•（x+2）′=60x（x+2）.
　　并且整体解析还可用于函数式子的求解及幂级数展开中.
　　例4:将f（x）=e展开为x的幂级数.
　　分析:由于我们用直接展开法计算知道e=1+x+x+x+…+x+…，可将其展开规则看成是e=1+（）+（）+（）+…+（）+…，那么（）就是一个整体符号，要求f（x）=e的展开式，就是将x为一整体代入到（）中，即
　　e=1+（x）+（x）+（x）+…+（x）+…
　　=1+x+++…++….
　　例5:已知y=?蘩dt，求y′.
　　分析:这个函数就是y=?蘩dt与（）=sinx复合而成，所以y′=［fdt］′•（）′=•（）′，即：y′=•（sinx）′=cosx•.
　　二、整体换元
　　对有的数学问题，注意其整体结构，可以采用整体换元，改变解题角度，这样能避免冗长的运算，使问题简化.定积分中的换元积分法就是整体换元思想的一个很好体现.
　　例6:求?蘩（2x-3）dx.
　　分析:已知?蘩f（x）dx=F（x）+C，其运算法则是?蘩f（）d（）=F（）+C，那么（）就是一个整体符号，要求?蘩（2x-3）dx，则被积函数中的2x-3与积分变量不“协同”，所以我们就要想办法凑成一致的整体，即
　　?蘩（2x-3）dx=?蘩（2x-3）d（2x-3）•=?蘩（2x-3）d（2x-3）
　　再令2x-3这一整体式子为变量u，所以
　　?蘩（2x-3）dx=?蘩（2x-3）d（2x-3）=?蘩udu=u+C
　　最后再将u=2x-3整体回代即可.
　　例7:求?蘩dx.
　　分析:被积函数中含有，这属于第二换元法中的根代换，即将根式看成一个整体=u，则x=u-2，用一个整体代换后将原先含根式的式子转化为有理函数，方便积分.
　　?蘩dx=?蘩•2udu=2?蘩du=2?蘩1-du，
　　=2（u-ln|1+u|）+C
　　最后再将u=整体回代即可.
　　三、整体配凑
　　对一些以固定条件形式出现的命题，只有通过配式凑项，设置待定常量，才能使用固定已知结论，去解决问题.整体配凑在高等数学极限这一章中应用广泛，集中体现在两个重要极限的应用，以及等价无穷小量的替换.
　　其中两个重要极限有其固定的形式，分别为=1、（1+x）=e.之所以称为两个重要极限是因为应用非常广泛，大量的（主要指式子中含有三角函数的型）型，1型都可以用这两个重要极限去计算.在分析的过程中就是运用到了整体思想，将其推广为
　　=1［1+（）］=e，
　　那么（）就是一个整体符号，只要符合要求“趋近于0”即可以随便填;同样若不统一则需要有技巧地配凑以达到一致就可以利用固定的形式解题.
　　例8:求
　　分析:首先将3x看成一个整体，然后将极限过程中的x及分母中的x配凑成一相同整体，
　　=•3＝3•＝3.
　　例9:求1-
　　分析:根据［1+（）］=e的固定形式，知道“1+（）”中的（）就是一个整体，只要极限是0就可以，而题目中是-→0，因此极限过程与指数向着-去凑，即：
　　1-=li1+-?摇=e.
　　而等价无穷小量的替换作为极限计算的一种重要方法，它的广泛使用也要被熟练掌握.我们建议熟记几个常用的等价无穷小量，比如当x→0时，sinx～x，1-cosx～x，ln（1+x）～x，e-1～x等，其实这些都可以推广为:当（）→0时，sin（）～（），1-cos（）～（），ln［1+（）］～（），e-1～（）.
　　例10:求
　　分析:分母ln（1-x）相当于（-x）作为整体，即ln（1-x）～-x，因此
　　==-.
　　综上所述，从整体上去认识、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时也能培养学生思维的灵活性、敏捷性;并且整体思想蕴含在数学的各个教学内容中，我们要充分挖掘教材内涵，在课堂教学中适时渗透整体思想，引导学生应用整体思想解题，让学生体会整体思想的奇妙作用，享受成功，从整体着眼，巧妙构思，灵活应用整体思想解决问题，提高数学素质.
　　
　　参考文献：
　　［1］陈伯利.数学教学中整体思想的培养［J］.宁波大学学报，2005，6.
　　［2］杨艳萍.微积分中的局部与整体思想分析［J］.洛阳大学学报，2005，12.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”