提高中学生数学解题能力的途径

　　摘 要： 在解题教学中教师应引导学生养成仔细，认真审题的习惯；掌握常用的解题思想方法；理顺解题思路，规范解题过程；加强题后反思，从而提高中学生解题能力。
　　关键词： 中学数学教学 解题能力 解题 实践
　　
　　在中学数学教学中，要提高学生的解题能力，除了抓好基础知识、基本能力的学习与培养外，更重要的培养途径就是解题实践。下面我们讨论如何指导学生解题。
　　一、养成仔细、认真审题的习惯
　　仔细、认真地审题是解题的前提。审题的目的是为探索解题途径提供方向，为选择解法提供思路。审题的基本要求为以下几点。
　　1．全面了解题目的文字叙述，知道题目有几个条件，理解每个条件及由其推导出的结论，画出必要的准确图形或示意图。
　　2．整体考虑题目，将条件进行组合推导以挖掘条件内涵和相互之间的联系。一般情况下，中等难度的习题都有两或三个条件组合推导出关键步骤。这恰恰是许多学生做不到的。如：角平分线的性质定理，三角形全等的判定定理，三角形相似的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等等。同时，初中数学许多性质与定理的条件都是两或三个。必要时，要对条件或结论进行化简或转化，以利于解法的探索。
　　3．挖掘隐蔽条件；如n边形的内角和，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和，数学式中的根式必须有意义，二次函数的二次项系数不等于零，等等。
　　4．判明题型，预见解题的策略。如初中数学基本题型：计算题、实际应用题、规律探究题、新运算题、统计与概率的计算、与圆有关的合体、解直角三角形、四边形与多边形、方程与函数题、数形结合、探究性与开放性题目、视图与投影。先看准题型，再使用相应的思想方法。
　　例1：已知：如图１，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，M、N分别是DE、BC的中点，求证：MN⊥DE.
　　分析：第一步，根据题意画出示意图.本题有四个条件：两个垂直、两个中点；由垂直能推导出90度角和边上的高，中点可推导出EM=MD，BN=NC第二步是将条件进行结合推导：由于两中点不在同一个三角形或梯形中，因而不可使用中位线，即使添加辅助线也不可以；将两垂直结合仅仅得到∠ABD=∠ACE；一垂直与一中点组合，本题可添置两条辅助线EN、DN，把题中两条件“直角三角形”和“斜边上中线”结合推导出相等的线段：EN=DN=BC再把两条件“等腰△BEC中条件EN=DN”和“M是ED的中点”结合推导出MN⊥DE若在第二步推导完后，学生仍然不能看出本题的解题思想方法，建议将题中的三个条件结合，一定能找到解题方法因为初中习题不可能太难第三步书写过程按结论出现的先后顺序书写，同时要注意条件是否充分
　　证明：分别连结DN、EN，
　　∵N是BC的中点，CE⊥AB，
　　∴EN是Rt△BEC斜边BC上的中线，
　　∴（直角三角形斜边上中线的性质）。
　　同理可得DN=BC，∴EN=DN（等量代换）.
　　又∵M是ED的中点且EN=DN.
　　∴MN⊥DE（等腰三角形底边上的中线就是底边上的高线）.
　　由此可见，要提高解题能力，就要在平时教学中有意识地培养学生认真审题的习惯。
　　二、掌握常用的解题思想方法
　　数学题目繁多，内容变化万千，常令许多学生解题时不知从何入手，在解题中，我们必须教会学生常用的几种解题方法。下面我通过举例，介绍中学数学常用的几种解题思想方法。
　　例2：比较下面两列算术结果大小（横线上选填“>”，“<”，“=”）
　　（1）5+3?摇?摇 ?摇?摇2×5×3
　　（2）（-2）+1?摇?摇 ?摇?摇2×（-2）×1
　　（3）0.5+3?摇?摇 ?摇?摇2×0.5×3
　　（4）4+4?摇?摇 ?摇?摇2×4×4
　　……
　　通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明
　　解：横线上填写的分别是>，>，>，=
　　一般结论是：如果a，b是两个实数，则有a+b≥2ab
　　∵（a-b）≥0，
　　∴a-2ab+b≥0，
　　∴a+b≥2ab。
　　此题是“探索型”例题，虽重在探索，难在探索，但却有其规律可寻，解例2类题目，常常是先考虑特殊情况，由特殊情况的结果，猜想出一般情况的结果。这里运用了归纳推理的方法和化归思想方法。
　　例3：已知直角三角形的面积为14，两直角边之差为13，求斜边长
　　分析：设直角三角形的两直角边分别为x和y（x＞y），由已知列出方程组：
　　x－y=13xy=28，
　　若解这个方程组分别求出x、y的值，再代入求值是比较复杂的我们可以从整体分析，无需求出x、y的值，直接根据已知条件，求出x+y的值
　　解：设直角三角形的两直角边分别为x和y（x＞y）由已知得：
　　x－y=13xy=28，
　　所以x+y=（x－y）+2xy=13+28×2=225，
　　所以弦长为15
　　此例包含着整体思想和化归思想方法
　　三、理顺解题思路，严格规范解题过程
　　怎样把数学问题解答过程严谨地叙述出来？这对学生来说不是件容易的事，有着较高的能力要求。叙述要合理，对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑。还要周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复。一般来说，各种形式的数学习题都有一定的解答格式，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范。这样做，可以培养和提高学生的逻辑思维能力和表达能力，同时也有助于学生解题能力的提高。
　　四、回顾与探讨解题过程，加强解后反思
　　解数学题绝不能解一题丢一题，否则无助于解题能力提高。解题后的反思是提高解题能力的一种重要途径。
　　1．善于进行总结
　　解题后可从知识点的应用、解题方法、解题策略等多方面进行多角度、多侧面总结，这样才能举一反三、触类旁通，提高解题能力。
　　例4：等腰三角形腰上的高与腰之比为1∶2，求此等腰三角形的底角.
　　错解：如图2，BD为等腰△ABC腰上的高，且高与腰之比为1∶2.
　　∴∠A=30°，
　　∴等腰△ABC的底角为75°.
　　总结教训，提高辨析错误的能力，也是提高解题能力的有效方法。本例构图过程中，应对等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形进行分类讨论，这里仅考虑了顶角是锐角的情形导致了漏解。如图3，当顶角A是钝角时，∠CAB=150°.
　　∴等腰△ABC中的底角为15°，
　　∴本题的正确答案为75°或15°.
　　2．注意一题多变与一题多解
　　解完一道题后，教师要善于把它“改头换面”，变成多个与原题内容或形式不同但解题类似的题目，这样可以扩大学生的视野，深化知识，从而提高解题能力。
　　例5：如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，AE、DE分别为∠DAB、∠CDA的平分线，求证：∠AED=90°.
　　变式1：如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，AE为∠DAB的平分线，∠AED=90°，
　　求证：DE为∠CDA的平分线.
　　变式２：如图5，梯形ABCD中，AB∥DC，AB+DC=AD，E为BC的中点，求证：∠AED=90°.
　　变式３：如图5，梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，∠AED=90°，求证：AB+DC=AD.
　　通常改变条件或改变结论，或条件和结论互换等，都是一题多变的好形式。
　　总之，学生解题能力的提高是一个潜移默化的过程，是在亲自参与解题实践中不断提升的过程。教师在数学教学过程中应当注意结合自己班级的实际情况，不断进行反思，从而有效地提高学生的数学解题能力。
　　
　　参考文献：
　　［1］李建才.初中数学教材教法.高等教育出版社，1995.5.
　　［2］吴葵光.数学学习增刊.海南《数学学习》杂志社，2006.11.
　　［3］琚林勇.新课程.《新课程》杂志社，2007.3.
　　［4］波利亚著.阎育苏译．怎样解题.北京科学出版社，1982.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”