取整函数的性质及应用

　　摘 要： 取整函数是一个常用的函数，它的形式简单，但性质独特，且在求极限、求导、求级数、求定积分、解方程等方面有广泛应用。
　　关键词： 取整函数 定义 应用
　　
　　取整函数f（x）=［x］早在十八世纪就为“数学王子”高斯所采用，因此f（x）=［x］得名为高斯函数.随着时代的发展，现在的高斯函数不再仅仅指下取整函数，还包括中取整函数和上取整函数.实际上取整函数虽然定义简单，但其性质独特，应用也相当的广泛.
　　1.取整函数的定义
　　设x∈R，用〈x〉表示不小于x的最小整数，则称f（x）=〈x〉为上取整函数（如图1-1）［１］.用［x］表示不大于x的最大整数.则称f（x）=［x］为下取整函数（如图1-2）［2］.最接近x的整数为中取整函数，即四舍五入函数.
　　显然，f（x）的定义域是R，值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即x=［x］+{x}，而{x}为x的小数部分.f（x）={x}称为小数部分函数（如图1-3），定义域为R，值域为［0，1）.
　　（1）在求极限中的应用
　　例1.求x的极限.
　　解：当x≠0时，有-1<≤;当x>0时，有1-x　　（2）在级数求解中的应用
　　例2.讨论级数的敛散性.
　　解：因为=发散，所以级数非绝对收敛.
　　当k≤n<（k+1），k≥1时，=k，（-1）=（-1）保持定号，所以有=（-1）++…+=（-1）u.
　　其中u=++…+，显然，≤u≤.
　OggIojtLTIwFKZzOIqSDuA==　当k充分大时u单调减少，且k→∞时，u→0.所以，由交错级数的莱布尼茨判别法知（-1）u收敛，从而原级数条件收敛.
　　（3）在实际生活中的应用
　　取整函数的实质是建立了一个实数集到整数集的一个映射，可以将任意实数转化为整数，在实际数学问题及生活问题中，我们可以充分利用此函数的转化作用.
　　例3.在某次会议中需要选取会议代表，规定每m人选取1人，余额满n人可以增选1人（1≤n＜m），则推选的代表数y与候选人的总数x，可用如下的函数式表示，y=或y=+1=<>.
　　此类问题在实际生活的各个领域中有着广泛的应用.各种按重量、长度、体积等量度计费的制度都是采用函数［x］，如邮政资费按邮品重量计算、出租车按里程计费等.
　　
　　参考文献：
　　［1］方学荣，冯平.高斯函数的性质［J］.新疆师范大学学报，2004，23，（2）:13-15.
　　［2］闵嗣鹤，严士键.初等数论（第三版）［M］.高等教育出版社，2006：19-23.
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