异面直线距离的求解方法

　　摘 要： 在数学教学中，充分运用数学知识的解题功能，有利于学生的全面发展，培养学生分析问题解决问题的能力，从而挖掘学生更深层次的学习潜能。本文从四个方面探讨了如何根据各种情形运用不同的方法求异面直线的距离，有助于教学难点的突破，可以引导学生更新解题思路，提高学生的思维能力。
　　关键词： 异面直线距离 公垂线法 最值法 线面平行法 体积法
　　
　　在立体几何学习中，求异面直线之间的距离是学习中的难点，因此掌握几种求异面直线距离的常用方法是非常必要的。
　　一、公垂线法
　　找出或作出两异面直线的公垂线然后进行计算是求异面直线之间的距离的首要方法。由于两条异面直线的公垂线唯一存在，因此有时找出或作出其公垂线比较困难，但是如果两异面直线中的一条在另一条所在的垂面内时，它们之间的公垂线往往比较容易作出。
　　例1：边长为a的正方形的两条对角线AC，BD交于O，以BD为折痕将正方形折成空间图形，这时若△ACD为等边三角形，求异面直线AC和BD之间的距离。
　　解：如图，∵△ACD为等边三角形
　　∴AD=DC=AC=AB
　　∴点A在平面BCD的射影O为△BDC的外心
　　∵△BCD为直角三角形
　　∴O为斜边BD的中点
　　∵AO⊥平面BCD
　　∴AO⊥BD
　　又∵OC⊥BD
　　∴BD⊥平面AOC
　　在平面AOC内作OE⊥AC于E，则OE为异面直线BD、AC距离。
　　∵AO=OC=a，AC=a，又在Rt△AOC中，OA•OC=AC•OE
　　∴OE==a
　　二、最值法
　　如果两条异面直线分别在两个互相垂直的平面内，应用最值法求两条异面直线的距离是比较方便的。我们知道两条异面直线之间的距离是连结异面直线上两点距离中的最小者，故我们可以将异面直线的距离表示成某个变量的目标函数，通过求函数的最小值求得两条异面直线的距离。
　　例2：已知正方体ABCD—ABCD的棱长为a，求异面直线AB和BD的距离。
　　解：如图，在AB上任取一点M，在平面AB内作MP⊥AB于P，在平面AC内作PN⊥BD于N，连MN。
　　∵平面AB⊥平面AC，平面AB∩平面AC=AB
　　∴MP⊥平面AC
　　∴MP⊥PN
　　设MP=X
　　∴AP=X，PB=a-x
　　∴PN=PBcos45°=（a-x）
　　∴在Rt△MPN中，MN=X+（a-x）=x-+a
　　∴当x=时，MN取最小值a。
　　三、线面平行法
　　如果两条异面直线，一条既不在另一条所在的垂面内，各自所在的平面又不互相垂直，这时应用公垂线法或最值法求异面直线的距离比较困难，我们可将两异面直线之间的距离转化为直线到平面的距离，这种求异面直线距离的方法称之为线面平行法。即选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则该直线与平面的距离即为所求两异面直线的距离。
　　例3：设A，B分别为变数为θ的二面角α-L-β的两个面内的点，它们到棱L的距离分别为a，b，求证：异面直线AB与L的距离d=。
　　证明：如图，过A作AC⊥L于C，过B作BD⊥L于D，作DE∥AC且DE=AC，连AE，BE，则∠BDE=θ且ACDE为矩形。
　　∵DC∥AE
　　∴DC∥平面ABE
　　∴DC到平面ABE的距离即为异面直线AB与L的距离
　　∵DC⊥BD，AE∥CD
　　∴AE⊥BD，又AE⊥DE
　　∴AE⊥平面BDE
　　∴平面ABE⊥平面BDE
　　在平面BDE内过D作DF⊥BE于F，则DF⊥平面ABE，
　　∴DF为直线L到平面ABE的距离。
　　在BDE中，∵BD=b，DE=AC=a
　　∴BE=
　　∵BD•DEsinθ=BE•DF
　　∴DF==
　　本例导出的结果实为两异面直线的距离公式，应用此结论解决夹在二面角之间的直线与二面角的棱所在直线之间的距离是很方便的。
　　四、体积法
　　应用线面平行法求异面直线的距离，有时直线到平行平面的距离难以作出或计算困难，这时我们可采用等体积法。体积法就是构造一个棱锥，把异面直线的距离看作是该棱锥的高，利用棱锥体积的不变性，列方程求解。
　　例4：已知三棱柱P—ABC是底面边长为4cm的正三角形，棱PC=2cm，且PC⊥底面ABC，D，E分别为AB，BC的中点，求异面直线CD，PE的距离。
　　解：如图，在△ABC中，过E作EF∥CD交AB于点F，则CD∥平面PEF，
　　∴CD到平面PEF的距离就是两异面直线CD，PE的距离。
　　∵PC⊥平面ABC，AB⊥CD
　　∴AB⊥PD（三垂线定理）
　　∵DF=AB=cm，EF=CD=cm
　　∴S=DF•EF=••=
　　∵PD=PC+CD=4+24=28cm，PF=PD+DF=28+2=30cm
　　PE=PC+CE=4+8=12cm
　　∴cos∠PEF===•
　　∴sin∠PFE=
　　∴S△PEF=PF•EF•sin∠PFE=•••=3（cm）
　　在三棱柱P—DEF中，设顶点D到面PEF的距离为d
　　∵V=V
　　∴PC•S=d•S
　　∴1/3•2•=1/3d•3
　　∴d=cm
　　即异面直线CD，PE的距离为cm。
　　以上就四个方面探讨如何针对各种不同情形运用不同的方法求异面直线的距离。当然，数学解题方法是多样的，这也体现了运用数学知识解题的灵活性和多角度性。如何培养学生分析问题解决问题的能力，激发他们启迪思维，挖掘其潜能，使其成为一名社会的有用之才，这是广大教育工作者探索追求的目标。
　　
　　参考文献：
　　［１］殷显耀主编.新教学方法.吉林科技出版社，2001.11，第3版.
　　［2］杨国初.几何思维能力及其培养策略.教学参考，2008.8.
　　［3］曾芸芳.发散思维在几何教学中的运用.新课程学习（基础教育），2010.
　　［4］［捷］夸美纽斯著.傅任敢译.大教学论.人民教育出版社，1984，第1版.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”