谈谈数学应用意识的培养

　　摘 要： 本文通过生动的例子将生活中的数学问题引入课堂，利用数学构建的模式将实际问题转换成解应用题的途径来加以解决。这样一来既可以使学生在轻松愉快的解题过程中巩固所学的知识，又可以培养学生将所学知识用于实际的好习惯，即数学应用意识的培养。本文还指出数学应用意识形成的最终标准是学生能够自觉、主动、创造性地运用数学知识解决实际问题，这才是培养数学应用意识的本质，也是数学教育的本质和出发点，更是提高国民素质的途径之一。
　　关键词： 数学课堂教学 数学应用意识 数学模型
　　现如今，全国上下都在大力提倡培养学生的数学应用意识。最近，我有幸拜读了大量关于在数学课堂上提供应用题从而培养学生的数学应用意识的文章。其中，我印象最深刻的就是季素月老师给出一个案例［４］：在一条河一侧的B地仓库着火了，住在与仓库同侧的A地居民马上拿着水桶到河边提水奔向B地救火，请作出居民救火的最佳途径。题目一出，学生就纷纷给出答案，而且答案惊人一致：作出B点关于河边的对称点B′，连结AB′，与河边交于C点，则由A经由C再到B是居民救火的最佳路线。老师问道：“你们的答案真的都是这么一致吗？有没有同学还有其它想法？”这句话说过之后，伴随的是教室的一片寂静，学生的思维在高速地运转着。果然，一只手慢慢地举了起来，刚开始这名学生比较腼腆，而且还没多大信心，老师就鼓励他，学生受了鼓舞，将自己的想法说了出来。他说：居民提着空水桶可以跑得更快点，而水桶里盛满水后就不那么好提了，所以我觉得BC这段应该更短些。刚才还一片寂静的课堂一下子就炸开了，学生的思维也被激活了，各种讨论声、争辩声四处都是。有学生问：老师，我们书上的数学应用题的答案是不是错误的？也有学生问：老师，这道题现在没有答案那我们怎么办？甚至有学生问：老师，要是地直接到河边没有路怎么办？……
　　当然，对这些问题，这位老师没有直接给予答案。美籍匈牙利的数学家和数学教育家乔治波利亚对教师提出的十诫之一就是：不要立即透露你的秘密——让你的学生在你说出来之前先去猜，尽量让他们自己去找出来。
　　这个案例给了我很多启示，生活中的数学问题与我们书上的数学问题有很大关联，却又不尽相同。一方面，我们要明白书本上的数学问题是从实际生活中的数学问题中做适当简单化，抽象出来的。另一方面，我们在运用所学的数学知识和技能解决实际问题时，要考虑实际的情况，要进行创造性的应用［1］。
　　为了使我们对利用应用题培养学生的数学应用意识有更深刻的理解，我再借用香港中文大学黄家鸣先生的一篇文章中所给出的一个实例。在黄先生坐下来写他的那篇文章前，他与十位同事在教师餐厅共进午餐，与通常一样，午餐的费用由用餐者共同负担，最终送来的帐单是483元，也像往常一样，大多数人坐在那里等待计算，而某个人则已拿出了两个20元的钞票并主动地承担起了这一责任。每个人付40元就是440元，再付4元就足以应付剩下的43元，从而44元就是所求的解答，而最终以支票付帐的人则可以少付1元钱。另外，大家也同意没有零钱的人可以随意地付45元或50元。这样，一个算术问题就以普遍满意的方式获得了解决。
　　上述情境显然是十分常见的。但是，如果这并非是在现实环境中发生的一个实际问题，学生通常会通过仔细的计算给出如下的答案：483÷11=43元。而且，尽管在现实生活中无法给出元，但无论是学生还是教师都会对上述的解答感到十分的满意，甚至根本不会去考虑这一解答在现实中是否真正可行，因为后一问题被认为是与学校中的数学解题活动完全无关的。
　　从利用应用题来培养学生的数学应用意识的角度来看，上述两个例子给予我们什么启示呢？
　　一、学生数学应用意识淡薄
　　我们的学生（甚至包括大学生）数学应用意识淡薄，上述两个例子也很好地说明了这一点。但是我查阅了很多的文献资料，大多数是只谈怎样培养学生的数学应用意识，却很少去涉及究竟是什么原因造就了学生数学应用意识的淡薄。实际上这种做法是黑白颠倒、本末倒置的。那么，根据上述两个例子，我们是否可以得出以下结论：课堂上的数学内容严重脱离实际造就了学生数学应用意识的淡薄。答案应该是肯定的，这是经过理性的思考得出的，当然，最终还要依赖于我们更深入地调查研究。我并不认为课堂上的数学内容严重脱离实际是学生数学应用意识淡薄的唯一原因，与此相反的是我们必须从整个教育环节上去考虑这一问题，而不是仅从某一环节、某一角度去考虑［2］。
　　二、生活中的数学问题引入课堂
　　传统的数学课程的严重缺陷就是把数学设计成一套严密抽象的演绎体系。但是无论如何你都不能否认数学在社会中扮演的角色，应该知道从过去、现在一直到将来，教数学的老师不可能浮在空中，而学数学的学生也必然是属于社会的。正如夸美纽斯所说：“人们学习的每一件事都应该是充满着联系的。”数学也是具有丰富联系的，在强调数学内部联系的同时，还必须重视数学跟外界的联系。我们强调的是联系学生亲生经历的现实，而不是生造的虚假的现实，那是作为应用的例子人为制造的。但是，目前我们的数学教育糟糕的是内部联系的得到（是否真的得到也未可知）却牺牲了外部联系。所以我们的数学教师面临的首要问题是：如何把生活中的数学问题引入到我们的课堂？在这里，弗赖登塔尔给我们提供了一个很好的方法，他认为类比是建立数学内部与外部联系的一个极为有效的手段，因为通过对象之间的类比，可以由一个解释另一个，从而使学生产生兴趣，使人信服，并能形成抽象的想象能力［3］。但是不管我们的教师怎样把生活中的数学问题经过改造后引入课堂，我们的教师必须明白的是：学生学习哪些数学似乎是无关紧要的，只要它充满着联系。因为只有联系的，才是最具活力的［3］。
　　三、多做应用题，培养数学应用意识
　　应用题在课堂上的出现，在某种程度上可以说满足了社会、家长和教师的部分需要，即希望学生学习的是有用的数学。甚至有人对初高中教材的应用题所占的比例进行统计，发现应用题比例明显偏低，从而得出结论：我们应该大力加强应用题的教学。毋庸置疑，这有积极的一面，即应用题为学生数学应用意识和能力的培养创造了很好的条件。但我们不能就此轻意地得出下面的结论：让学生多做应用题就能培养起学生的数学应用意识。在这里我暂不讨论目前课堂上的应用题的好坏，就像上述案例给我们的启示那样，能否真正培养起学生数学应用意识，关键是看教师依托应用题进行施教的整个过程。要是应用题只教给学生熟练的技能，同时教给学生大量的应用模式和一些特殊的记忆方法，那是一种愚蠢的教学方法，这样做只是为了应付考试，根本不可能培养起学生的数学应用意识。实际上，这样做反倒更加有害，即会使学生牢固树立起这样一种错误观念：所谓数学应用，就是多做应用题；如果你不会应用数学，那是因为你应用题做得太少。所以，我们很自然地可以得出以下结论：学生数学应用意识的培养主要涉及的并非是教学中是否依托应用题，而是教学思想的重要改变，即强调教学过程的开放性，彻底改变学生在学习过程中的被动状态，促使其更为积极、主动地进行探索［4］。为了更好地培养学生的数学应用意识，我们提出了建立数学模型的方法。数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。什么叫数学模型呢？简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述。数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式，等等。实际问题越复杂，相应的数学模型也就越复杂。怎样用数学模型方法解决实际问题呢？其实，意大利科学家伽利略在研究自由落体的过程时，就采用了建立数学模型的方法。我们生活的周围世界，变化无处不在。例如：一个人从出生到成长，我国人口的增长，飞机在空中飞行的路线，地球绕着太阳的运动，一桶水变成冰块过程中温度的变化，威胁我们生存的全球变暖过程，等等。这些变化着的现象中，常常含有变化着的量，以及各种数量关系，通常可以通过建立数学模型进行有效的研究。例如，变化范围（定义域），变化趋势（增长或减少），变化速率（增长或减少的快慢），等等，并且由此还能比较精确地预测将要发生的变化。
　　
　　四、喧闹的课堂有助于数学应用意识的培养
　　“精神需要精神的陶冶，人格需要人格的塑造”，我们是否也可以提出“意识需要意识的熏陶”呢？答案是肯定的。正像斯宾塞说的那样：“对待儿童没有同情，他们就变得没有同情，而以应有的友情对待他们就是一个培养他们友情的手段。”教师要培养起学生的数学应用意识，自己也必须具备一定的数学应用意识。很难想象在一个根本不知道数学有什么用处的教师的教育下，学生数学应用意识如何的强烈、能力如何的高明。数学应用意识是潜伏在学生的头脑中的，它当然需要那种“随风潜入夜，润物细无声”的潜移默化的教育。但是除了静悄悄地进行外，特别在课堂这一层面上，我们是否更应该提倡“轰轰烈烈”的气氛呢？也就是说，“喧闹”的课堂是否更有助于学生数学应用意识的培养呢？当然，这里谈到的喧闹的课堂，并不是指课堂的毫无秩序，而是指学生围绕着某一问题展开激烈的争辩，学生没有好坏之分，有的只是思维的自由翱翔，从第一个案例看并结合当前相对沉闷的课堂实际，我们更期望拥有这份喧闹的课堂来唤醒学生。
　　五、数学应用意识形成的最终标准
　　数学应用意识强调的是学生能自觉、主动地应用数学解决现实生活中的问题。它的侧重点在于学生的自觉性和主动性，指的是一种精神状态，属于观念、意识的范畴。也就是说它是隐性状态的数学，也正是因为隐性的，所以对学生数学应用意识是否真正形成我们很难有一个度量指标。但是，假如我们的学生能够创造性地运用数学解决实际问题，那么该行为或过程能否为学生形成数学应用意识提供最有价值的根据呢？再进一步说，那是不是数学应用意识形成的最终标准呢？当然，所谓创造性地运用数学解决实际问题包括两方面的内容：一方面，能从实际问题中发现数学信息，另一方面，能创造性地运用数学解决含有数学信息的问题，在这里需要着重指出的是，创造性并不要求学生具有高超的数学技巧，主要是看运用数学后得出的结果是不是更接近现实。结合上述两个例子，也许会对创造性这个概念有更好的理解，遗憾的是我们的教学更多地强调学生的数学技巧，却不怎么考虑结果在实际生活中能否行得通。实际上，暂且不讨论数学应用意识形成的最终标准是不是学生能够创造性地运用数学解决实际问题，但也为我们教师开辟了以下这一视角：学生在课堂上所提出解决问题的数量与质量，是学生应用意识是否形成的最重要的参考指标。例如，小明外婆送来一篮鸡蛋，这只篮子最多只能装55只左右的鸡蛋，小明3只一数，结果剩下1只，但忘了数多少次，只好重数。他5只一数，结果剩2只，可又忘了数多少次。他准备再数时，妈妈笑着说：“不用数了，共有52只。”小明惊讶地问妈妈是怎么知道的，妈妈笑而未答，让小明好好动动脑筋。其实，对于这个问题我们可以建立数学模型，运用方程的知识来解决。再如，某保险公司销售一年期的人寿保险给20岁的投保人，保险额10万元，保险费为120元，由过去的资料知，20岁的投保人能活到21岁的概率是，求这家公司的期望利润。对于这个问题，我们可以建立数学模型，利用概率的知识解决。
　　总之，我们应该深刻地理解数学应用意识培养的目的、手段和标准，为提升我国国民整体素质进而增强综合国力打好坚实的基础。
　　
　　参考文献：
　　［1］郑毓信，梁贯成.认知科学建构主义与数学教育.上海：上海教育出版社，1999.
　　［2］郑毓信.数学教育：从理论到实践.上海：上海教育出版社，2000.
　　［3］陈昌平，唐瑞芬.作为教育任务的数学.上海：上海教育出版社，2001.
　　［4］季素月.创新意识的培养与数学学习环境的重建.数学教育学报，2000，4，53.
　　［5］姜启源.数学模型.高等教育出版社，1999.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”