以线串点

　　摘 要： 函数值域是函数部分的重要内容，在高考中占有一定的比重，是高考的热点和难点。本文将结合高中学生认知的特点以常见的题型为“线”来总结求值域的方法。
　　关键词： 函数值域 函数类型 教法 线 点
　　
　　函数值域是函数部分的重要内容，在高考中占有一定的比重，是高考的热点和难点.求值域的方法比较多，学生掌握起来有一定的难度，这就需要教师在教法上下工夫.传统的教法是以求值域的方法为线来展开教学的，我认为这样的教法虽然能比较系统地将求值域的方法一一讲授，但不利于学生对知识结构的整体把握.我认为应该从学生的认知角度来设计教学.本文将以函数类型为“线”将求值域的方法这些“点”串起来，供参考.
　　在高中阶段，学生要面对的大部分函数是二次型函数、分式型函数和无理型函数（或通过变形、化简得到）.本文主要从这几种类型的函数来阐述求值域的方法.
　　一、二次型函数（二次函数或可化成二次函数的函数）求值域
　　例1.求函数y=x-2x，x∈（，2）的值域
　　解析：本题是二次函数，我们考虑用配方法解决.
　　y=x-2x=（x-1）-1，x∈（，2）
　　所以函数值域为［-1，0）
　　例2.求函数y=sinx-3sinx+4的值域
　　解析：本题是一个复合函数，但通过运用换元法可以转化成二次函数解决.
　　令sinx=t，则t∈［-1，1］
　　∴y=t-3t+4=（t-）+
　　所以函数值域为［2，8］
　　一般可以转化成二次函数的函数可以用配方法求值域.
　　二、分式型函数求值域
　　例3.求函数y=的值域
　　解析：本题用分离常数法将原函数化成了只有分母含有自变量的式子求值域.
　　y===2+
　　∴y≠2
　　∴函数值域为（-∞，2）∪（2，+∞）
　　一般分子分母同次且变量的系数成比例的分式求值域用分离常数法.
　　例4.求函数y=的值域
　　解析：本题不能分离常数，观察函数分子分母的最高次为二次，定义域为R，我们考虑利用根的判别式求值域.
　　两边同时乘以（x+x+1）得yx+yx+y=2x+x+1
　　变形得（y-2）x+（y-1）x+y-1=0
　　当y=2时，x=-1
　　当y≠2时，Δ=（y-1）-4（y-1）（y-2）≥0，∴1≤y≤
　　所以函数值域为［1，］
　　一般可以化成二次方程的分式函数（特别是定义域为R）可以用判别式法.
　　例5.求函数y=（x＞0）的值域
　　解析：本题虽然能化成二次方程，但函数定义域不是R，用判别式法3hNFyCSEGZFdaREWsso4p0R4qoRxbQUbuAdHhDcP/Ow=比较麻烦，根据函数特点我们考虑用基本不等式解决.
　　∵x＞0 ∴y==
　　∵x+≥2 ∴y∈（0，］（当且仅当x=1时取“=”）
　　所以函数值域为（0，］
　　例6.求函数y=x+（x∈［2，3］）的值域
　　解析：本题不适合用基本不等式解决（“=”取不到），我们考虑用函数的单调性解决.
　　∵y=x+在［2，3］上是单调增函数
　　∴函数值域为［，］
　　一般对于用基本方法不好解决的函数可以考虑利用函数的单调性.
　　三、无理型函数求值域
　　例7.求函数y=x+2的值域
　　解析：本题含有无理项，我们考虑用换元法把根式去掉.
　　令t=，则t≥0，x=t-1
　　∴y=t-1+2t=（t+1）-2（t≥0）
　　所以函数值域为［-1，+∞）
　　一般含有无理项的函数求值域可以先用换元法化简.
　　例8.求函数y=x+的值域
　　解析：本题用普通换元法不能将根式去掉，结合函数结构我们考虑用三角换元法求解.
　　由1-x≥0得-1≤x≤1
　　令x=sinθ（θ∈［-，］），则y=sinθ+cosθ=sin（θ+）
　　∵θ∈［-，］
　　∴θ+∈［-，］
　　∴-1≤y≤
　　∴函数值域为［-1，］
　　例9.求函数y=-的值域
　　解析：本题虽然含有无理项，但换元并不能把根式去掉，达不到化简的目的，我们考虑用单调性解决.
　　y=-=
　　易得函数在定义域［１，＋∞）上是减函数
　　所以函数值域为（0，］
　　一般对于基本方法不好解决的函数可以考虑利用函数的单调性.
　　此外还有高次函数等其他类型函数的函数，在这里就不一一叙述了.
　　总之，以求值域的方法为“线”来组织教学是用方法来总结题目；以函数类型为“线”来组织教学是用题型来总结方法，而从我们的认知情况来看，我们先面对的是题目而不是方法.