基本不等式及其应用

　　摘 要： 基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辩证统一.本文从基本不等式的三个限制条件——“一正，二定，三等”入手，结合典型例题，探究基本不等式的运用，让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对重难点的突破策略，培养学生的归纳、总结能力.
　　关键词： 基本不等式 限制条件 最值 应用
　　
　　一、主干知识
　　1.基本不等式：≤或a+b≥2.
　　（1）基本不等式成立条件：a＞0，b＞0;
　　（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.
　　2.基本不等式的拓展：ab≤（），其中a，b∈R.
　　二、深入探究，加强理解
　　问题：设x＞0，求函数y=x+的最小值.
　　解析：∵x＞0“一正”
　　∴x+≥2=2“二定”
　　当且仅当x=，即x=1时，等号成立.“三等”
　　故函数y=x+的最小值为2.
　　点评：在应用基本不等式时，要把握三个限制条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个条件缺一不可．
　　探究1：设x＜0，求函数y=x+的最大值.
　　解析：∵x＜0，∴-x＞0，
　　∴x+=-（-x+）≤-2=-2，
　　当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立.
　　故函数y=x+的最大值为-2.
　　变式：设x≠0，求函数y=x+的值域.
　　解析：∵x≠0，∴|x|＞0，
　　∴|x+|=|x|+≥2=2，
　　当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立.
　　∴|y|≥2，∴y≤-2或y≥2，即函数y=x+的值域为（-∞，-2］∪［２，＋∞）.
　　另解：用分类讨论的方法（x≠0，分x＞0和x＜0两种情况）.
　　点评：培养学生等价转化的思想，如何创造条件满足“一正——各项都是正数”.
　　探究2：设a＞1，求a+的最小值.
　　解析：∵a＞1，∴a-1＞0，
　　∴a+=a-1++1≥2+1=3，
　　当且仅当a-1=，即a=2时，等号成立.
　　故a+的最小值为3.
　　变式：设0＜a＜1，求的最大值.
　　解析：∵0＜a＜1，∴1-a＞0，
　　∴=•≤•=，
　　当且仅当a=1-a，即a=时，等号成立.
　　故的最大值为.
　　点评：运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，即满足“二定——和或积为定值”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件.
　　探究3：设t≥2，求t+的最小值.
　　分析：本题不满足限制条件：“三相等——等号能取得”，故不能用基本不等式.
　　解：由双钩函数y=t+的图像及性质，易知函数y在［2，+∞）上是增函数，
　　当t=2时，t+的最小值为2.
　　变式：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值.
　　错解：由已知，1=x+y≥2?圯≤?圯≥2
　　∴+≥2=≥8
　　∴+的最小值8.
　　错因：多次用到基本不等式，能否取等号，当且仅当x=y，=，又x+y=1，但x，y无解.
　　正解：∵x＞0，y＞0，
　　∴+=（+）（x+y）=7++≥7+2=7+4
　　当且仅当=又x+y=1，即x=2-3，y=4-2时，等号成立.
　　故+的最小值为7+4.
　　知识迁移：已知0＜x＜1，求+的最小值.
　　解析：∵0＜x＜1，∴1-x＞0，
　　∴+=（+）•（x+1-x）=7++≥7+4，
　　当且仅当=，即x=2-3时，等号成立.
　　故+的最小值为7+4.
　　点评：运用基本不等式求最值时，应考虑到等号成立的条件.有些题目在拼凑过程中，注意通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次.
　　三、高考回放
　　A组
　　1.（2009年湖南高考10）若x＞0，则x+的最小值为?摇 ?摇.
　　2.（2010年重庆高考12） 已知t＞0，则函数y=的最小值为?摇 ?摇.
　　3.（2011年重庆高考7）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=（ ）
　　A.1+ B.1+ C.3 D.4
　　A组命题意图：主要考查灵活应用基本不等式求最值的知识，解决此类问题时，一定要注意“一正二定三等”，三者缺一不可.
　　B组
　　1.（2009年重庆高考7）已知a＞0，b＞0，则++2的最小值是（ ）
　　A.2 B.2 C.4 D.5
　　2.（2010年四川高考11）设a＞b＞0，则a++的最小值是（ ）
　　A.1 B.2 C.3 D.4
　　3.（2011年天津高考12）已知loga+logb≥1，则3+9的最小值为___________.
　　B组命题意图：主要考查应用基本不等式探求最值问题，解答过程中经过几次的放缩才能达到目的，充分体现了试题思维的层次性.
　　C组
　　1.（2009年天津高考9）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2，则+的最大值为（ ）
　　A.2 B. C.1 D.
　　2.（2010年山东高考14）已知x，y∈R，且满足+=1，则xy的最大值为___________.
　　3.（2011年浙江高考16）若实数x、y满足x+y+xy=1，则x+y的最大值是___________.
　　C组命题意图：主要考查基本不等式的推广ab≤（）（a，b∈R）在求最值中的应用.
　　从近几年的高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；客观题突出“小而巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及运算能力；主观题考查较为全面，在考查基本运算能力的同时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．预测2012年高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．
　　
　　参考文献：
　　［1］孙翔峰主编.三维设计高考总复习新课标.光明日报出版社，2011.4.
　　［2］杜志建主编.2007—2011新高考5年真题汇编.新疆青少年出版社.