如何培养学生正确的解题思路

　　摘 要： 启发学生自觉思维的过程、教给学生基本概念的过程，特别是教给学生基本定理的过程，也是教给学生正确思维的过程：每个概念的引入和建立，每个定理的产生、分析、证明和应用，每次知识框架的归纳、整理、完善和系统化工作，学生从中都可以受到最完整、最具体、最基本、最生动的逻辑思维的训练.因此，尽力讲好概念、定理、例题和做好知识的系统化工作，是培养学生正确解题思维的基本途径.
　　关键词： 逆向思维 分析综合能力 解题思维 培养
　　
　　著名的数学家G•波利亚在《怎样解题》中曾说：数学教学的目的在于培养学生的思维能力.我认为培养学生的思维能力应该注意以下几点.
　　一、善于遵循循序渐进的原则
　　思维的发展，永远是低级到高级，由浅入深的，因此教师在教学活动中就应当充分运用由简到繁，由易到难，由已知到未知，由特殊到一般，由具体到抽象的原则来组织和讲解教材，来提出和解决问题，来引入概念、证明定理，这是培养学生学习的主动性，发展学生逻辑思维的好方法.
　　教师在教学中不仅输出信息，而且能够有效反馈信息，有的放矢地调整自己所输出的信息，使学生在原有的基础上有所得.教师要根据学生的个性差异设计教学，教学各环节都应该考虑学生的现有知识与所授知识的“梯度”相吻合.
　　著名的数学家笛卡尔说，要善于把“所考查的每一个难题，都尽可能地分成细小的部分，直到达到可以圆满解决的程度为止”.对于繁难问题，应教给学生剖析矛盾、转化矛盾的方法：先把一个大问题变成小问题，把新问题变成旧问题一个紧接一个，一个更比一个接近我们的目标，直到我们能够解决为止.这种“步步为营”的方法是循序渐进原则的主要应用.如：
　　例1：设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2.试问在［-3，3］上f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由.
　　分析：要从已知的条件直接求出f（x）的最大值是十分困难的，但可以把这个问题转化成一些小的问题.
　　1.由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，y=0，可以得出f（0）=0.
　　2.令y=-x与上一步结合得出函数f（x）是奇函数.
　　3.设0＜x＜x，则x-x＞0，由f（x-x）=f（x）+f（-x）且f（x）是奇函数，得出函数f（x）在［0，3］上是减函数.
　　4.由奇函数的性质知函数f（x）在［-3，3］上是减函数，所以有最大值f（-3）和最小值f（3）.
　　到此，问题得以解决，从以上分析过程我们可以看出这是一种把大问题变成小问题进而求解的好方法.
　　二、注重过程的点评，培养学生分析、综合的思维能力
　　要培养和提高学生的数学逻辑思维能力，就必须把学生组织到对所学内容的分析和综合，指导学生寻求正确思维方向的方法，培养逻辑思维能力.不仅要使学生认识思维的方向性，而且要指导学生寻求正确思维方向的科学方法.
　　分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法就是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.
　　例2：设a，b是两个正数，且a≠b，求证：a+b＞ab+ab.
　　证法1（分析法）：
　　要证a+b＞ab+ab
　　只需证（a+b）（a-ab+b）＞ab（a+b）
　　只需证a-ab+b＞ab（∵a+b＞0）
　　只需证a-2ab+b＞0
　　即需证（a-b）＞0
　　由已知a≠b所以a-b≠0显然有（a-b）＞0，由此命题得以证明.
　　证法2（综合法）：
/LsJYSaJe1tfr60dgqtYVTWj0RxxBJv/7mMSKzj50/s=　　因为a≠b，a＞0，b＞0，所以a-b≠0，a+b＞0
　　所以a-2ab+b＞0
　　所以a-ab+b＞ab，得（a+b）（a-ab+b）＞ab（a+b）
　　即证a+b＞ab+ab
　　综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.
　　三、培养学生的逆向思维能力
　　逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式.敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象.当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维.人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法.其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化.
　　例如将概念、定理、公式、法则逆用，这些知识的逆向有时可达到化繁为简，化难为易的效果.
　　又如在解题过程中，顺推不行时考虑逆推；直接解决不行时考虑间接解决；探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能等由此寻求出解决问题的方法，甚至产生意想不到的良好效果或者有新的发现.
　　例3：已知f（x）=x+px+q，求证：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于.
　　解法探讨：因命题的结论包含的情况较多，用直接证明法便显得繁杂困难，而其反面却只有一种情况，用逆向思维可能是最佳解法.
　　假设原命题不成立，则有：
　　由得-＜2p+q＜-，这与（2）式相矛盾.故假设不成立，从而得知原命题是正确的.
　　逆向思维，从方面观察事物，把问题变换一下处理，从非常规方面下手，由此寻求出解决问题的方法，甚至产生意想不到的效果或者有新的发现，此类例子自古以来就在生活、生产、学习甚至战争中闪烁出智慧之光.
　　任何活动都要遵守一定规则，而教学活动也应当遵守教学原则，只有这样才能使教学活动有序进行.教学原则在教学理论中，是处于承上启下的地位.所谓承上，是说教学原则是教学规律的反映；所谓启下，是说教学原则是教学内容、组织教学、教学方法、考试、考查，以及教学工具的运用等一系列活动的依据.在教学过程中培养学生的思维的方法还有很多种，但是无论是哪一种方法和途径，最根本的、相同的都离不开思维的训练，所以需要我们在教学中不断地研究和探讨.
　　
　　参考文献：
　　［1］徐汝成.辩证思维解题策略举要.数学通报，2001.4.
　　［2］合理选择解题思维起点的若干途径.数学通报，1998.9.
　　［3］教学思想录中学数学卷.1997.7.