利用数列的构造求极限

　　摘 要： 本文基于对数列结构的研究基础上，讨论了求数列极限的几种典型方法.
　　关键词： 数列结构 数列极限 求解方法
　　
　　一、问题的提出
　　在某些数列的极限问题中，往往已知数列各项间的一些递推关系式.这时要仔细分析这些关系式，大致把握数列的一些性质，采用合适的方法来解决.本文在研究数列结构研究的基础上，讨论了求数列极限的几种典型方法.
　　二、一些结果
　　定理1（托布尼兹定理）若数列S=at满足（1）a≥0，n∈N，K=1，2，…，n；（2）a=1，n∈N；（3）a=0，k∈N；（4）t=t，则S=t.
　　推论（斯托兹定理）（1）若数列{y}严格增大，且无界；（2）=L，则数列{}=L.
　　定理2（压缩映射原理）设函数f（x）满足（1）-∞＜a≤f（x）≤b＜+∞，（a≤x≤b）；（2）|f（x）-f（y）|≤k|x-y|，（0＜k＜1，x，y∈［a，b］）.设x∈［a，b］，并定义序列{x}：x=f（x），n=1，2，…，则x=x存在，且x=f（x）.
　　定理3（单调有界原理）单调有界数列必有极限.
　　三、具体应用
　　1.斯托兹定理
　　例1:计算（α＞0）
　　解：令y=n，x=1+2+…+n则由α＞0，故数列{y}严格单调增无界，由斯托兹定理有：===.
　　2.压缩映射原理
　　例2：按下列方式定义一个正数列：任取x＞0，并使x=（n=0，1，2，…），证明这个序列收敛并求极限值.
　　证明：显然有0＜x＜1 （n=1，2，…）.由于
　　x-x=-=
　　数列{x}不是单调数列.但我们据此有
　　|x-x|=|x-x|.
　　因为，函数f（x）=在［0，1］上的最大值是，从而有
　　|x-x|≤|x-x|.
　　由此对任意的m＞n，有
　　|x-x|≤|x-x|+…+|x-x|≤（）|x-x|+…+（）|x-x|≤（）［1++…+（）］［x-x］＜（）|x-x|→0
　　由柯西收敛原理知{x}收敛.
　　记
　　x=x，
　　则有
　　x=，
　　x=.
　　在不能先证明极限是否存在时，直接通过取极限将递推式化为代数方程，先得出极限的可能值，往往是有益的.它能给你提供新的解题思路.
　　例3：设x=2，x=2+，…，x=2+，…，求证：x存在，并求其值.
　　证明：显然，可以看出x＞2且{x}不具有单调性.
　　若x=A存在，则必有A=2+，从而A=1+.据此，我们直接从定义出发证明{x}的极限存在并且就是A.因为
　　|x-A|=|（2+）-（2+）|=|-|=＜
　　＜＜…＜=→0（n→+∞）
　　所以
　　x=A（存在）.
　　3.单调有界原理
　　证明极限存在的一个重要方法是利用“单调有界数列必有极限”这一原理.考察数列单调性的主要手段是研究项差x-x的正负性质.
　　例4：设x＞0，x=（n≥1），试证x=a存在，并求a的值.
　　解：显然，对一切n有x＞0，进而可看出x＜4，即{x}是有界序列.由
　　x-x=（4-）-（4-）=
　　知x-x与x-x有相同的正负性，即{x}是有界序列.所以x=a存在，且满足方程
　　a=.
　　解得a=2.
　　例5：f（x）=cosx+cosx+…+cosx，求证：
　　（A）对任意自然数n，方程f（x）=1在［0，）内有且仅有一个根；
　　（B）设x∈［0，）是f（x）=1的根，则x=.
　　证明：（A）因为f（0）=n≥1，
　　f（）=++…+=1-＜1，
　　由连续函数的介值性知f（x）=1在［0，）内至少有一个根.而因为
　　f′（x）=-sinx［1+2cosx+…+ncosx］＜0，
　　导致f（x）在［0，）内单调下降.所以f（x）=1在［0，）内仅有一个根.
　　（B）因为f（x）=f（x）+cosx=1+cosx＞1，
　　所以x＞x，即{x}是单调上升有上界的序列.极限x=x存在，且x≤.同时，由于x≤x，所以
　　f（x）≤f（x）≤1，
　　即有
　　≤1.
　　令n→∞，可得
　　cosx≤，
　　即得x≥，所以x=.
　　
　　参考文献：
　　［1］龚冬保.高等数学典型题［M］.西安：西安交通大学出版社，2004.
　　［2］刘玉琏等.数学分析讲义（第四版）［M］.高等教育出版社，2003.