愚人节问题不愚人

　　下面给出的这道趣味数学题是由加拿大艾伯塔大学的数学家里奥·莫赛尔专为愚人节所作.这样的提示似乎很明显，那就是大家不要被这则问题吓倒，其中定然暗含玄机．
　　数学家设计的问题是：下面是一个28位数，中间有10个空缺的位置，如果请你在空位中填上数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且每个数字只能使用一次，那么得到的这些28位数是396的倍数的可能性是多少？
　　5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76
　　乍一看，这的确是个吓人的问题.因为在10个空位上填上0～9，共有10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800种情况，也就是说，会得到三百多万个不同的28位数，要验证如此多的数能否被396整除，需要试验筛选的次数是难以想象的.既然这庞大的28位数难以下手，那么不妨换个方向思考，研究已知条件中出现的另一个数字396.通常情况下，我们应该从分解396的因数入手，稍加试验可得396＝4×9×11，这样问题就得到了转化：一个数要是396的倍数，必须同时是4的倍数、9的倍数和11的倍数.有了这样的判断，探索的思路顿时开阔了许多．
　　根据“数的整除特征”，一个数是4的倍数，那么这个数的最后两位组成的数是4的倍数；一个数是9的倍数，那么这个数的所有数字之和是9的倍数；一个数是11的倍数，那么这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数.这也就是说，396的倍数必须同时满足：末两位是4的倍数，所有的数字之和是9的倍数，奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数.有了这个针对性的结论，就立刻有了探求的目标．
　　观察第一步可知，5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76这个28位数的末两位为76，是4的倍数，所以不管如何填空，可断定它是4的倍数；第二步计算可知，28位数中已知的所有数位的数字之和是5+3+8+3+8+2+9+3+6+5+8+2+0+3+9+3+7+6kgW2mVKL5t7NvT69SVxs8gzyKfULeuYl3ly7V1bTQ/E=＝90，是9的倍数，而空位上的数字之和肯定是0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，也是9的倍数，那么可以断定，无论空位上0～9的顺序如何，所有的28位数都是9的倍数；第三步仍然是简单的计算，5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76奇数位上的数字之和是5+3+3+8+2+9+6+5+8+2+
　　3+9+3+7＝73，偶数位上除了空位之外的数字之和是8+3+0+6=17，而所有的10个空位都出现在偶数位上，也就是说，这10个空位的数字之和45也应该加在17上，即偶数位上的数字之和是45+17=62，可以看出，73-62＝11，即奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差也是11的倍数．
　　至此，玄机显露.原来不管空位上的0～9如何填写，得到的所有28位数统统都是396的倍数，它们形式各异却个性相同，细细品味，则有 “另辟蹊径则曲径通幽，峰回路转则柳暗花明”的妙趣.由此看来，这种“不走寻常路”的策略，值得回味和反思!