培养发散思维的一例“一题多解”题

　　摘要：重视“一题多解”问题，培养发散思维。
　　关键词：学生；发散思维；一题多解
　　
　　发散思维是指人们解决问题时，从某一特定目标出发，思维向外辐射，沿着各种不同的途径和方向，从多角度、多方面思考、想象，从而探索出多种多样的设想和解决问题的办法，即产生出大量的独特的新思想。发散思维可以使人的思路活跃，提出各种各样的待选方案，特别是它能提出出乎意料的独特见解。发散思维要求善于联想、思路宽阔；要求善于分解组合、引申推导、灵活变通。
　　在数学教学中，教师应重视用各种方式对学生进行发散思维能力的培养。对典型习题采用“一题多解”教学，对巩固基础知识，提高基本技能，沟通知识的联系，激发学生浓厚的学习兴趣，调动学生学习思维积极性，培养学生发散性思维，能起到立竿见影的作用。对典型习题通过“一题多解”教学，不仅能改变教师讲什么学生就用什么思考的思维定式，拓宽学生的思路，去寻求多种途径的解法，而且能促使学生多方位、多层次地思考和分析。因此，教师对典型习题应用“一题多解”教学时，要引导学生对多种方法进行比较，优化解题方法，并注意找出同一问题存在各种解法的条件与原因，挖掘其内在规律。
　　在数学教学中，教师只有重视并在平时多提供“一题多解”的问题，才能有利于发散思维能力的培养。下面，我们就举一例“一题多解”题进行分析。
　　例题：设f(x)=，a，b∈R且a≠b。求证：|f(a)-f(b)|＜|a-b|。
　　1. 利用不等式证明中常用的分析法、综合法、放缩法等进行证明
　　解法一：分析法。欲证：|f(a)-f(b)|＜|a-b|，
　　只需证(-)2<(a-b)2，
　　 即1+a2+1+b2-2　　 1+ab<， 又∵1+ab≤|1+ab|，
　　只需证|1+ab|≤，
　　 两边平方得 1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2，
　　 即证2ab　　 而 a≠b时，上式显然成立。
　　 故原不等式成立。
　　 解法二：综合法。∵a≠b，∴2ab　　 可得1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2，
　　 有|1+ab|≤，又∵1+ab≤|1+ab|，
　　 ∴ 1+ab<，
　　 可得1+a2+1+b2-2　　 ∴(2-2)2<(a-b)2，
　　 即 |f(a)-f(b)|＜|a-b|，故不等式成立。
　　 解法三：放缩法。
　　 |f(a)-f(b)|=|-|
　　 =<
　　 =≤=|a-b|，
　　 ∴ |f(a)-f(b)|＜|a-b|，故不等式成立 。
　　 2. 利用平面解析几何知识进行证明
　　解法五：解析法。在平面直角坐标系内取点C（1，0），在y轴上取点A（0，a），B(0，b)，由于 a≠b因此A、B、C三点构成三角形。
　　在△ABC中，||AC|－|BC||＜|AB|，
　　即|-|<|a-b|，
　　∴ |f(a)-f(b)|＜|a-b|，故不等式成立。
　　3. 利用复平面中复数的知识进行证明
　　解法六：复数法。设α=1+1+ai，β=1+bi，由于a，b∈R且a≠b，因此复数α、β在复平面内所对应的点与原点O不共线。
　　 故有||α|-|β||＜|α-β||。
　　 而|α|=，|β|=，|α-β|=|(a-b)i=|a-b|，
　　 ∴ |-|<|a-b|，
　　 即 |f(a)-f(b)|＜|a-b|，故不等式成立。
　　4. 利用三角知识进行证明
　　解法七：三角法。设a=tanα，b=tanβ，α≠β，