在数列教学中如何渗透函数思想方法

　　摘 要：函数与数列的关系，是一般与特殊的关系，正是这种关系，使函数思想方法成为研究和解决数列问题当然的工具。本文就自己在数列教学中如何渗透函数思想方法的一些想法和做法谈一点体会。
　　关键词：数列；渗透；函数思想
　　
　　一、运用函数的有关概念研究等差、等比数列
　　数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。等差数列和等比数列式两类特殊的数列，它们的特殊性在通项公式和前项和公式的结构特征中有充分体现，同时在两公式的相互关联上也有所反映。
　　对于等差数列 {an}，它的通项公式an=a·n+b(n∈N)，an可以看做关于n的一次函数（特殊地，公差为0时是常数函数）图像上的离散点；当d≠0时，前n项和Sn可以看成为关于n的二次函数Sn=a·n2+b·n(n∈N)的图像上的离散点（特殊地，当公差为0时，Sn可看成为关于n的正比例函数或常数函数0的图像上的离散点）。
　　对于等比数列的通项公式an=a1qn-1=qn，前n项和公式Sn==-qn(q≠1)的图像是类似于指数函数图像上的离散点。
　　在教学中充分注意到等差、等比数列的这些图像特征，对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助，同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供简捷、有效的方法。
　　例1 已知等差数列{an}中a3=5，a13=25，求它的通项公式an。
　　解：由已知点（3，5），（13，25），（n，an）在同一直线上，
　　所以有：=，所以有：an=2n-1。
　　例2 在等差数列{an}中，a1=12，S3=S10，求Sn的最大值。
　　解：由Sn=na1+·d及S3=S10得，
　　3·12+·d=10·12+·d， ∴ d=-2。
　　Sn=12n+·(-2)=-n2+13n=-(n-)2+，考查二次函数y=f(x)=-(x-)2+。
　　当x=时，函数有最大值（如图1）。
　　又f(6)=-(6-)2+=42=f(7)。
　　∴当n=6或7时，Sn有最大值42。
　　解法二：S1=12，S3=S10，所以三点A（1，12），B（3，），C