一道课题学习试题的赏析与拓展

　　 “课题学习”是将研究性学习的思想和方法体现在数学教学中，使大家在获得数学知识的同时，参与体验研究性学习的过程，是一个实验、探索、交流的过程，从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题。
　　“课题学习”通常以探索、研究、实验操作等不同形式呈现于中考数学命题之中。课题学习试题的结构有：课题的提出、数学模型的建立、问题的解决、数学知识的应用、研究问题的方法。下面是2011年江西省中考数学样卷中的一道题，通过对这道题的赏析与拓展，希望同学们能领悟课题学习试题的本质。
　　
　　某课外学习小组在一次学习研讨中发现以下命题：
　　平面内两条直线l1∥l2，它们之间的距离等于a。一块正方形纸板ABCD的边长也等于a。现将这块硬纸板平放在两条平行线上。如图1，将点C放置在直线l2上，且AC⊥l1于O， 使得直线l1与AB、AD分别相交于E、F，则△AEF的周长等于2a。
　　任务要求 （1）证明以上命题；（2）请你继续完成下面的探索：
　　①如图2，若绕点C转动正方形硬纸板ABCD，使得直线l1与AB、AD分别相交于E、F，试问△AEF的周长等于2a还成立吗?并证明你的结论。
　　②如图3，将正方形硬纸板ABCD任意放置，使得直线l1与AB、AD相交于E、F，直线l2与BC、CD分别相交于G、H，设△AEF的周长为m1，△CGH的周长为m2，试问m1，m2和a之间存在着什么关系？试证明你的结论。
　　
　　解析:（1）连接EC，FC（如图1）。
　　由△BCE≌△OCE，得BE=EO，同理OF=FD，所以AE+EF+AF=AE+EO+OF+AF=AB+AD=2a。
　　（2）①如图4，过C作CM⊥EF于M，可证明△BCE≌△MCE，
　　△CMF≌△CDF，得BE=ME，MF=DF，则AE+EF+AF=AE+EM+MF+AF=AB+AD=2a。
　　
　　②m1+m2=2a。
　　如图5，将l1、l2分别同时向下平移相同的距离得到l3、l4，使得l4经过点C，l3交AB于M，交AD于N，l3和l4的距离为a。由（2）①的证明知AM+MN+AN=2a。过F作FK∥AB交MN于K。由四边形EMKF为平行四边形可得EF=MK，FK=EM，通过证明△FKN≌△CHG（由这两个三角形的高相等展开证明）得FK=CH，KN=GH，CG=FN。从而命题得证。
　　点评：本题以“给出特例——猜想——一般情况”和“猜想——论证——再次猜想”的形式呈现，考查了大家的创新意识；本题运用类比思想进行猜想，用化归思想解题，是平行线、三角形、平行四边形、正方形、全等等知识的综合运用。
　　通过这道试题的学习，我们可以感受课题学习试题的一些特征：有一个恰当的素材和明确的研究方向，或是以几何问题、社会问题为背景，通过对问题的逐步观察、操作和归纳、探究，既考查相关基础知识、方法的掌握，又考查同学们联想、探索、发现、总结归纳的能力。这类题型是近几年中考命题改革中出现的新题型。
　　由此课题学习试题也可联想到以下两个拓展中的基本图形。
　　拓展一：灵活运用一些基本图形及其结论，化难为易，减少思考时间，降低思维难度，在运动变化的图形中提炼出解决问题的本质，用“块到块”的思维模式代替“点到点”的思维模式。
　　基本图形1 如图6，已知：在正方形ABCD中，AB=a，点M、N分别在BC、CD上，连接MN。
　　则以下命题等价：
　　①∠MAN=45°；
　　②DN+BM=MN；
　　③△CMN的周长等于2a；
　　④若AK⊥MN于K，则AK=a。
　　此课题学习试题是这个基本图形1的运用与拓展：已知基本图形1的④可得到基本图形1的