高中数学应充分重视课本题的教学

　　摘 要： 课本题的教学是高中数学教学的重要方法之一，课本题的教学设计关系到教学的达成度。本文通过分析课本题的提问示例，指出目前数学教学中常见的误区，并结合实例探讨了问题导学在阅读教学中使用的原则和方法。
　　关键词： 高中数学 课本题教学 误区 问题设计 教学启示
　　
　　普通高中课程标准实验教科书数学必修5（2007年6月第3版）第24页第7题，本题在解三角形这一章中的复习题中，属于思考运用的范畴.本文就本题的几种解法作如下思考。题目为：如图1，已知∠A为定角，P、Q分别在∠A的两边上，PQ为定长．当P、Q处于什么位置时，△APQ的面积最大？
　　解法一：利用基本不等式
　　设PQ=a（a为定值），AQ=x，AP=y
　　由余弦定理：cosA=，可知：x+y=a+2xycosA≥2xy．
　　所以xy≤，当且仅当x=y=时，等号成立．
　　所以S=xysinA≤．
　　所以当AP=AQ=时，△APQ的面积最大，最大值为．
　　点评：本题应用基本不等式求最值，显得比较简单，但是在课本中基本不等式是在学完解三角形之后学习的，所以本题用此法有点不妥．
　　解法二：利用正弦定理及三角函数的相关知识
　　设PQ=a（a为定值），AQ=x，AP=y，∠APQ=α，∠AQP=β
　　在△APQ中，==，则x=，y=
　　所以S=xysinA=sinαsin（α+A）
　　=-cos（A+2α）
　　当A+2α=π时，即α=β，cos（A+2α）=1，△APQ的面积最大，所以S=+=．
　　所以当AP=AQ=时，△APQ的面积最大，最大值为．
　　点评：应用三角函数求最值的相关知识解决本题，看起来非常符合本题，此法也是常规解法．但是化简过程中易出错．
　　解法三：利用三角形的外接圆
　　作△APQ的外接圆圆O，如图2所示，PQ是定值，点A在优弧上不断变化，∠A始终为定值，在变化过程中，仅当点A到PQ边的距离最大时（即AO⊥PQ），此时AP=AQ，△APQ的面积最大．故可令AP=AQ=x，由cosA=，可得x=，所以S=xsinA=.
　　所以当AP=AQ=时，△APQ的面积最大，最大值为．
　　点评：由定角的对边是定值想到圆（同弧所对的圆周角相等，同弧所对的弦长相等）．
　　在阅读完以上三种解法后，对于这样的问题“在△ABC中，cosA=，边a=，则△ABC的面积S的最大值为?摇?摇?摇?摇．（答案：）”则可轻松解决，很显然读者会选择解法三．
　　以上是我在本学年度教学中遇到的一个问题，总结出来与所有同仁共享。我们知道课本中的绝大多数题目都是经典题目，每年的高考题大多选自书本题，只有书本题才不超纲，而我们在平常教学中，往往对书本题注视程度不够，导致很多问题被忽略，而恰恰这些不起眼的题目有时会给我们开一个大玩笑，因为我们平时对它们研究的不深入，不够扎实，忽略了题目所蕴含的思想方法．本文所选的题目就是我根据平时教学总结出来的，教学时若不深入，导致遇到时学生会感觉困难，它给我一个教学启示，就是要对课本题多做深入细致的研究。
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