注重培养学生严谨的思维习惯

　　严谨的思维习惯是良好思维素质的重要特征.如何培养学生严谨的思维习惯，是数学教学的一个重要课题.现根据我在教学第一线十多年的工作实践，谈谈在中学教学中对学生严谨思维习惯培养方面的几点做法.
　　一、提高学生语言表达能力，克服含混模糊的语言表达习惯
　　学生在表述概念时，往往不重视表述的严密性，因而常出现错误，对学生语言表述中出现的错误，教师要及时予以剖析并加以纠正.例如，指明“把直线画短些”，“把平面画大些”的错误所在；揭示“不在任何一个平面内”与“不在同一平面内”的区别；分析在椭圆定义中“平面内”、“常数大于|FF|”两个条件缺一不可的原因.
　　在表述定理、公式和法则时，教师应该要求学生作完整的叙述，不能默许学生作随意增减.例如，“若两条直线都有斜率，则这两条直线互相垂直的充要条件是斜率互为负倒数”中的“两条直线都有斜率”这一前提不能丢掉；在等比数列前n项和公式中，公比q≠1的条件不能少，并进一步要求学生按公式q≠1和q＝1两种情况，全面掌握求等比数列前n项和的公式.
　　在表述数量、位置、逻辑关系时，教师应要求学生做到语言准确、贴切.例如，不能把“全不相等”说成“不全相等”；不能把“两两相交且不过同一个点的三条直线”与“两两相交的三条直线”相混淆.
　　在培养学生语言表述能力的过程中，教师严密的语言表述对学生起着潜移默化的作用.教师要注意课堂教学语言的锤炼，给学生作出表率.
　　二、准确运用概念，克服粗疏的思维习惯
　　概念是思维的细胞，学生在运用概念解题时，往往不能全面、准确地把握住有关概念的实质，仅仅注意到定义中的某一部分条件.如忽视象限角概念中“角的终边不在坐标轴上”这一条件，出现“若α是第二象限的角，则2α是第三或第四象限的角“这一错误判断；又如，有的学生忽视奇、偶函数对定义域的要求，即定义域所表示点集必须关于原点对称，从而出现“函数f（x）=x+7cosx（-1≤x≤3）是偶函数”的错误.
　　例1.判断函数量f（x）=的奇、偶性.
　　学生往往这样解答：
　　∵f（-x）==，
　　∴f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x）.
　　∴f（x）既不是奇函数，又不是偶函数.
　　这是个错误解，错在没有先求函数的定义域，然后将函数的解析式恒等变形.
　　由1-x≥0|x+2|-2≠0得出函数的定义域为［-1，0）∪（0，1］.将函数恒等变形，得f（x）=，f（x）是奇函数.
　　三、深刻理解定理、公式、法则，克服生搬硬套的思维习惯
　　定理、公式、法则都有各自适用范围，绝不能不问条件，到处生搬硬套.对学生滥用定理、公式、法则所产生的解题错误，教师注意及时剖析并予纠正，从而培养学生灵活、准确运用定理、公式、法则的严谨思维习惯.
　　例2.已知方程x+x+p=0的两虚根为α、β，且|α-β|=3，求实数p的值.
　　错解：由α+β=-1，αβ=p，|α-β|=3，得|α-β|=（α-β）=（α+β）-4αβ.
　　∴1-4p=9， ∴p=-2.
　　实际上，当p=-2时，原方程的两根为1和-2，并非虚根.产生错误的原因是将实数范围内成立的等式“|x|=x”生硬地搬到复数范围去使用.正确解法是：
　　设a=a+bi（ab∈Rb≠0），则β=a=a-bi，|α-β|=|2bi|=2|b|=3，∴b=±3/2.
　　由α+β=-1，得a=-1/2，∴P=aβ=a+b=5/2.
　　四、周密审题，深入钻研、克服单一化，表面化的思维习惯
　　探讨问题不能只考虑一种情况、一种结果，要全面深入地分析，看看有没有其他情况、其他结果.力戒单一化、表面化的思维习惯.
　　例3.把下面方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：
　　x=（t+）……① （t是参数）y=（t-）……②
　　如果只考虑到a≠0、b≠0的一般情况，没有去处理a、b至少有一个为零的特殊情况，那么只能得到片面的结果：消qqq0niGNWOCxAhPgbRJiWIh/J+3XZHDFBtfGLSU2jto=参数t，得到x/a-y/b=1，它表示双曲线.正确解答是：
　　（1）当a≠0、b≠0时，所求普通方程为x/a-y/b=1，它表示双曲线；
　　（2）当时a＝0、b≠0时，所求普通方程x=0（y∈R），它表示y轴；
　　（3）当时a≠0、b=0，由①得x=（t+）≥a.
　　∴所求普通方程为y=0（x≥|a|或x≤-|a|），它表示x轴上两条射线；
　　（4）当a=b=c时，所求普通方程x+y=0，它表示原点.
　　例4.实数a、b满足a+b=1，求点M（a+b，ab）轨迹.
　　不少学生常常做出如下解答：
　　设x=a+b，y=ab，则：
　　1=a+b=（a+b）-2ab=x-2y.
　　∴点M的轨迹是抛物线，其方程为x=2（y+）.
　　其实，如果能周密审题、深入钻研，由a+b=1可得（a+b）≤2（a+b）=2，x≤2，就会发现点M的轨迹是抛物线的一段，其方程为x=2（y+）（-≤x≤）.
　　五、剖析“可解”的错题，克服轻信、盲从的思维习惯
　　有些数学题，虽然“可解”，然而由于编题者考虑欠周密，以至成为错题.剖析这种错题，对于帮助学生克服轻信、盲从的思维习惯，增强思维的批判性大有裨益.
　　例5.一个直角三角形的周长为10，斜边上的中线长为2，求此三角形的面积.
　　解题能力比较强的学生常作如下解答：
　　设两直角边长分别为a、b，因斜边长为4，则：
　　a+b=6①a+b=16 ②
　　①-②，得2ab=20.
　　∴三角形的面积S=ab=5.
　　在上述解答中，将ab作整体处理，解法简捷.然而，正是这种处理掩盖了a、b不可能是实数这一实质.其实，由a+b=6，ab=10，可知a、b是方程x-6x+10=0的两个根，由Δ＜0，得a、b不是实数.至此，我们发现这道例题是一道错题.进一步深入钻研，可以推导出直角三角形中，周长p与斜边长c的关系是（-1）p＜c＜p/2.在例4中，p=10，c=4，不适合于（-1）p＜c，所以不存在周长为10，斜边上的中线长为2的直角三角形.
　　作为数学教师，我们在平时的数学教学实践中，要善于抓住各种机会，利用多种形式、持之以恒地注重培养学生严谨的思维习惯.