一种积分因子的存在定理及应用

张若峰

摘要本文给出了微分方程 的一种积分因子的定义，得出了这

种积分因子存在的充要条件和计算公式。

关键词积分因子；通积分；全微分方程

An Existence Theorem of Integral Factor and Application

Zhang Ruofeng

(Tianshui Norm college, Tianshui Gansu 741001)

Abstract: This paper gives an existence theorem of integral defination, and finally gets the necessary and sufficient condition and fomula of the subject.

• Key Words: integral factor, application, total differential equation

一引言

由于全微分方程计算方便和简单，因此寻求微分方程）（1）

， （1）

的积分因子 ,使得微分方程（2）

（2）

成为全微分方程，使问题得以有效且简便解决。对一些特殊结构的积分因子，如 中仅含 或 ，或者型等，已经得到了判别定理和求积分因子 的计算公式（详见文 ）。本文主要对积分因子 中既含 又含 的比较复杂的一种情形，给出定义和判定定理，并建立积分因子的计算公式。

二主要结果

定义 1若连续可微函数，（x,y） ,使方程（2）为全微分方程，则 称为方程（1）的积分因子。

定义2若方程（1）积分因子 为

= ，（x,y）(3)

则称 为复合型积分因子（这里 为连续函数）

引理 方程（2）为全微分方程的充要条件是

（x,y） (4)

定理若方程（1）满足 ，（x,y） ，则方程（1）存在复合型积分因子 = 的充要条件是存在连续函数 ，使得

(5)

并且，积分因子 由下式确定

= ，（6）

（6）式中的 由（5）给出。

证明必要性：由引理，积分因子 满足

（7）

将 = 代入（7）整理后得

（8）

由 可得

(9)

所以有

（10）

取一元函数 ，由（10）得知（5）式的正确性。

再证明充分性：取二元函数 满足

= ， （11）

式中 由（5）使给出。下面证明 为方程（1）的积分因子。

(12)

(13)

(13)减（12），并利用（5）得

推论 方程（1）有复合型积分因子 的充分必要是存在连续函数 ，满足

并且积分因子为

证明取 ，由定理即知结论的正确性。

容易看出，当取 时，是一般文献中所介绍的存在 型积分因子的条件。

三应用

例求方程 的通解。（14）

解這里 ，所以有

（15）

取 （16）

将（15），（16）代入（5）式左端得

（17）

因此取（18）

由（17），（18）式可知，定理中条件（5）成立.根据定理，方程（14）具有复合型积分因子 ，经计算得

=（19）

所以，方程（14）可化为全微分方程

=0（20）

又

=

= +

故得原方程通解为：

= ， 为任意常数。

参考文献

1 东北师范大学数学系编。常微分方程 。高等教育出版社，2001，12，35~45

2 王高雄等编。常微分方程 。北京：高等教育出版社，1984，3,44~49

Existence Theorem of a Integrating Factor and its Application

Zhangruofeng

(Department of Mathematics and statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu )

AbstractThis paper give the definition of a integrating factor about differential equation,then obtains thenecessary and sufficient condition of the existence of the integrating factor and its calculating formula..

Key WordsComplex integrating factor;General integral;Fully differential equation

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。