基于随机期望值模型的时差定位最优布站算法

王旭赢，刘雅奇，郑灿

（解放军电子工程学院，安徽 合肥230037）

1 引 言

时差定位系统的定位精度与目标位置以及站点的几何布局有关[1]。适当选择定位站点的位置，可以极大地提高系统对目标的定位精度。因此，有必要对各种定位系统最优布站方法、策略进行研究。但目前已有的对时差定位布站的研究，多是根据理论推导，得到针对个别特殊点的最佳布站策略[2，3]，或是对某些布站方式的优劣进行分析比较[4，5]，或者算法复杂，个别情况下难以收敛[6]。虽然得出了一些有关最优布站准则的结论，但却不足以解决在各种定位和布站区域内，时差定位站点的最优布局问题。

综上所述，本文针对目前时差定位布站研究中存在的问题，利用随机期望值模型，对时差定位系统站点的最优布局进行研究。其目标是在特定的布站区域内，各站点针对定位目标可能出现的区域形成最优布站，所遵循的原则是定位系统在对定位区域内任意位置目标的定位误差期望值最小。由此解决了在任意的定位和布站区域内，定位系统的最佳布站问题。

2 时差定位误差的计算模型

设布站区域内，时差定位系统布设了i（i=1，2，…，n）个定位站点，其中站点1为时差定位的中心站点，如图1所示。

图中α1，α2，…，αn分别为第i个定位站点到目标点的方向角。在高斯噪声环境下，对处于定位区域内任意一点的目标，时差定位系统定位误差的几何平均值¯σ可表示为[7]：

σ为定位系统对到达时间测量误差对应的距离误差的标准差。β1i为主站和站点i到目标点方向的夹角，θ1i为主站和站点i分别到目标点的方向角的平均值。

3 基于随机期望值模型的最优布站算法

3.1 问题提出

设时差定位系统的待定位区域为Ωs，可布站区域为Ωr。各定位站点布置在（xi，yi），（xi，yi∈Ωr，i=1，2，…，n）处。则通过式（1）、式（2），可以求得定位系统在Ωs内任一点处的定位误差。

然而在实际的定位问题中，目标出现在定位区域内的位置是不确定的。因此，评价一个布站策略的优劣，不能只考虑定位区域内某一点处的定位误差。一种可行的方法是，计算待评估的布站策略下，整个定位区域Ωs内的误差积分[6]。但该方法计算过程过于复杂，且对于一些特殊点，可能出现误差无穷大的情况[4]，从而影响算法的收敛。鉴于此，本文提出了基于随机期望值模型的最优布站算法。

考虑到二维的定位问题与三维的定位问题，在概念上并没有实质的差别。因此，为了分析的方便，本文主要对二维问题展开论述。

3.2 问题描述

由于目标出现位置的不确定性，因此，可以将目标坐标ζ（εx，εy），（εx，εy∈Ωs）作为一组随机变量。则由式（1）可知，目标点处定位误差的几何平均值，是由ζ与（xi，yi）共同决定的不确定函数。可表示为：

通过随机模拟，我们可以得到该不确定函数的期望值。则最优的布站策略，就是要使得定位系统对定位区域内任意目标的定位误差期望值最小，即满足如下的随机期望值模型：

将上式中的平面坐标换成对应的空间坐标形式，就可以转化为空间目标定位的最优布站模型。

3.3 模型求解

该随机期望值模型可通过文献[7]提出的混合智能算法，结合随机模拟、神经网络与遗传算法求解。具体步骤如下：

STEP1：通过随机模拟，为不确定函数U∶（xi，yi）→E[f（ζ，xi，yi）]产生输入输出数据。以定位区域为中心在原点，边长为1的正方形区域为例。对应于定位区域内的任意一点ζ（εx，εy），εx和εy均为服从U（—1，1）分布的随机变量。通过随机模拟，产生N组目标点的坐标值，记为ζk=ζ（），（k=1，2，…，N）。则对于一个确定的布站策略（x1，y1，x2，y2，…，xn，yn），当N→∞时，

STEP2：根据产生的输入输出样本，训练一个神经网络（2n个输入神经元，1个输出神经元）来逼近不确定函数U∶（xi，yi）→E[f（ζ，xi，yi）]。

STEP4：对染色体进行交叉和变异运算，并根据式（4）中的约束条件检验后代的可行性。

STEP5：通过神经网络计算每组染色体的目标值。计算结果对应于该布站策略下，定位区域内任意目标的定位误差的期望值。

STEP6：根据目标值计算每组染色体的适应度，并通过轮盘赌的方式选择下一代染色体。

STEP7：重复步骤4至步骤7，直到完成给定的循环次数。

STEP8：找出最好的染色体作为最优布站策略。

4 仿真实验

为便于同已有的理论推导结果相对照，本文的仿真实验，均考虑采用三个定位站点对目标进行定位的情况。其中站点1为主站，站点2、3为副站。

实验1：布站区域限制在半径为5km的圆形区域内，定位区域Ωs为中心位于原点，边长为1km的正方形区域，σ设为0.15km。种群规模为50，交叉概率Pc=0.3，变异概率Pm=0.2。随机模拟3000代，产生2000个训练样本，经过5000次遗传迭代后，得到的最佳布站如图2所示。

由仿真结果可以推断，当待定位区域位于布站区域的中心，并且布站区域为圆形时，最佳的布站方式为：定位站点沿着布站区域的边界均匀分布。这与文献[2]、[3]、[6]所推导或仿真得出的结论基本相符，且满足文献[4]提出的时差定位最优布站的大部分原则（该情况下，个别原则无法同时满足）。因此，算法所得结果应接近于该情况下的最优解。

实验2：布站区域为半径为5km圆形区域，定位区域Ωs为中心位于点（2，2），边长为1km的正方形区域。其余仿真参数不变，得到的最佳布站如图3所示。

由仿真结果可以推断，当待定位区域位于布站区域内的一侧时，最佳的布站方式为：主站（站点1）位于布站区域与定位区域中心的连线与定位区域边界的交点处，副站（站点2、3）均匀分布于主站与目标连线的两侧，三个定位站点均匀分布于靠待定位区域一侧的半个圆周上。该布站方式能够基本满足文献[4]提出的时差定位最优布站的部分原则，亦符合文献[8]提出的“任意两个定位站点到目标的夹角尽量的大”的最优布站原则。因此，可以将其作为该情况下的最优布站策略。

实验3：布站区域仍然为半径为5km圆形区域，定位区域Ωs为中心位于点（0，8），长为4km，宽为2km的长方形区域。其余仿真参数不变，得到的最佳布站如图4所示。

由仿真结果可以推断，当待定位区域位于布站区域以外的一侧时，最佳的布站方式为：主站（站点1）位于布站区域与定位区域中心的连线之间，靠近布站区域的中心的一侧；两个副站（站点2、3）均匀分布于主站与目标连线两侧的半个圆周上，三个定位站点呈倒三角形配置。这与文献[6]提出的“各定位站点布设在一条直线上”的结论不符，但考虑到文献[6]仅是针对“任意两个定位站点到目标的夹角尽量的大”的最优布站原则得出的结论，且对布站区域的形状大小没有要求。而本文提出的布站策略，不但基本满足了“任意两个定位站点到目标的夹角之和尽量的大”，且能较好的满足文献[4]提出的最优布站原则。此外，将几种布站方式的定位误差期望进行计算比较，当主站位于两副站连线上时，误差的期望值为0.7966；当主站位于布站区域上边界时，误差期望为0.8279；而本文所得布站方式的定位误差期望为0.7705，优于前两种布站方法。因此认为本文提出的布站方法更接近系统的最优布局。

5 模型拓展

基于随机期望值模型的时差定位最优布站算法，解决了在定位站点数目一定的情况下，特定的定位和布站区域内的定位站点最优布局问题。然而实际的布站问题中，还可能存在一个问题：如何决定区域内定位站点的数量，使得达到预期定位精度的条件下，付出的设备代价最小。为此，可以利用随机期望值模型，计算出不同的站点数量（X）下，定位误差的最小期望值（Y）。当误差满足精度要求时，对应的X即为最佳站点数量；也可以分别对站点数目和定位误差赋予不同的权重（a＞0，b＞0），根据站点数目与定位误差的对应关系，建立线性函数f（X，Y）=aX+bY。函数取最小值时对应的X即为最佳布站数目，X对应的布站策略即为最优布站策略。

1 陈永光，李昌锦，李修和.三站时差定位的精度分析与推算模型[J].电子学报，2004，32（9）：1452—1455.

2 王贵生，王东进，陈卫东.基于距离差法目标定位的多站雷达优化布局[J].现代防御技术，2006，34（6）：93—97.

3 邵良琪，邵定蓉.一种区域定位系统的布站策略[J].电子与信息学报，2007，29（3）：553—556.

4 王成，李少洪，黄槐.测时差定位系统定位精度分析与最优布站[J].火控雷达技术，2003，（32）：1—6.

5 黄金凤，韩焱，王黎明.无源时差定位布站形式对定位精度的影响[J].火力与指挥控制，2009，34（10）：33—35.

6 汪波，薛磊.基于遗传算法的TDOA定位系统的最优布站算法[J].系统工程与电子技术，2009，31（9）：2125—2128.

7 刘宝碇，赵瑞清，王纲.不确定规划及应用[M].北京：清华大学出版社，2006.

8 胡来招.无源定位[M].北京：国防工业出版社，2004.

9 许旺土，何世伟，宋瑞，等.多时段公交发车间隔优化的随机期望值模型[J].北京理工大学学报，2009，29（8）：676—679.