高职院校高等数学数学思想方法教学研究

曹爱民

济南职业学院 山东 济南 250014

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。日本数学教育家米山国藏说：“学生在学校所学的数学知识，在进入社会后，几乎没有机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉，然而不管他们从事什么工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用，使其终身受益”。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高，掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。对高职院校的学生而言，由于其数学基础比较薄弱，抽象的数学逻辑体系成了他们理解的障碍，高职院校高等数学的教学目的在于让学生了解数学课程的主线，掌握数学应用于实践中的简单理论和操作方法，引导学生运用数学思维分析和解决实际问题，因此，在教学实践过程中，如何利用有限的课时使学生掌握更多的数学技能和数学方法，成为每一位职业院校数学教师必须思考的问题，因此在教学中要重视对数学思想方法的总结和提炼，把有限的教学内容拓展到学生各专业应用实践中去。在教学内容的安排上，尽可能地降低抽象性，减少不必要的理论推导，突出操作性和应用性，强化数学思维方式和思想方法的养成，使高等数学成为培养数学思想素质、训练数学应用技术的平台。

1 挖掘高等数学教材中隐含的数学思想方法

高等数学教材中的数学概念、公式、定理、法则、性质等内容，是数学知识有形的实体，而数学思想方法隐含在数学知识体系当中，渗透在教材的不同章节和不同的内容中，需要经过分析、鉴别、抽象、总结才能得出，而其一旦形成以后，又可以指导我们去研究新的数学知识。数学思想方法渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，如果能有效地引导学生经历知识形成过程，让学生在观察实验分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法，蕴含的思想，那么，学生掌握知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素养才得到质的飞跃。因此，教师首先应从思想上提高对思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时融入教学目标。其次，要深入钻研教材，努力挖掘高等数学教材中隐含的数学思想方法。高等数学中隐含的思想方法很多，比如，数形结合思想、化归思想、转化思想等都有所体现，但比较重要的是三种数学思想：极限思想、导数思想和积分思想。

1）极限思想：极限的思想是近代数学的一种重要思想，高等数学就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想的应用主要是作为一种方法给出了导数、微分、定积分、二重积分等重要概念，初等数学和高等数学的本质区别也体现在数学的研究方法发生了改变，这一改变就是引入了极限思想，把原本“静止”的数学变成了“运动”的数学，高职院校的学生在学习高等数学的初期，普遍感觉到高等数学不好学，很大程度上就是因为数学的思想方法变了，而他们思考问题、解决问题的方法还没有转变。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算来得到这结果。

2）导数思想：导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，两类问题导致了导数概念的产生：一是求变速运动的瞬时速度，二是求曲线上一点处的切线，这两类问题都归结为变量变化的快慢程度，即变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量、极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化高等数学中的不少问题；导数的方法是全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用，在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用。

3）积分思想：通常的加法是有限项相加，定积分概念是从求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个问题引出来的，从解决这两个问题的基本思想和步骤来考察，我们会体会到，定积分也是一种积累，曲边梯形的面积是由“小窄条面积”积累而得：无限多个底边长趋于零的小矩形的面积相加而得；变速直线运动的路程是由“小段路程”积累而得：无限多个时间间隔趋于零的小段路程相加而成全路程。因此，用定积分所表示的积累与同城意义下的积累不同。这里要以无限细分区间［a，b］而经历一个取极限的过程。也就是说，定积分是无限积累。能用定积分表示的量所具有的特点是：一是量不均匀地分布在一个有限区间［a，b］上，或者说它与自变量 的一个区间有关，当区间［a，b］给定后，S就是一个确定的量。二是部分量ΔSi在部分区间［xi-1，xi］上能用“以直代曲”或“以不变代变”的方法写出ΔSi的近似表达式：ΔSi≈f（ξi）Δxi，i=1，2，…，n，xi-1≤ξi≤xi，这里f（x）（x∈［a，b］）是根据具体问题所得到的函数。

2 在课堂教学过程中 渗透数学思想方法

数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程得以实现，因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的每一个环节——概念形成的过程、结论推导的过程、数学实验、数学建模教学的过程等。

2.1 在概念形成的过程中渗透数学思想方法

2.2 在结论推导的过程中渗透数学思想方法

这三道题虽然形式与原例题只有微小差别（二次三项式的常数项不同），但其解法却大相径庭，（1）的解法是把分母完全平方，然后凑微分求解；（2）是仿原例题的解法，只是在凑微分时稍显复杂；（3）的解法是把被积函数裂成两项，然后逐项积分。为什么会有如此大的区别呢？在总结的时候要给学生点出，几道题目的本质区别其实在于其分母二次三项式所对应一元二次方程的判别式不同，当Δ=0时，同（1）的解法；当Δ＜0时，同（2）的解法；当Δ＞0时，同（3）的解法。这其实是数学上的分类汇总思想，这样处理既把知识进行了有效地总结，有渗透了数学的思想方法。

2.3 在数学实验 数学建模的教学中渗透数学思想方法

根据高职高专培养目标的要求，对高等数学这门基础理论课的教学，要“淡化数学理论教学，注重数学思想方法传授，侧重数学应用能力和创新能力培养”。数学实验是指为研究与获得某种数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题，运用数学的一些思想方法和手段，在数学思维活动指导下，在思维的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探究活动。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。因此，在数学实验和数学建模教学的过程中，要注重对数学思想方法的渗透和讲解，侧重培养学习运用高等数学的知识去解决实际问题的能力。例如，定积分的思想是高等数学中最基本、最重要、最有实用价值的思想方法之一，也是应用微积分描述实际问题，构成数学模型的基础。要通过几何、物理、经济学等实例，加深对定积分思想方法的理解，进一步增强应用数学去理解、描述实际问题的能力，培养数学建模的初步能力；导数的思想方法应用研究着重于瞬时速度、瞬时电流强度、切线斜率、曲率、边际利润、边际成本等实际问题等。通过这些应用问题的练习，可以锻炼学生在较简单的实际问题中提炼并且学会解答数学建模问题，进一步增强数学建模意识。

3 在现代信息技术的融合中 要贯通数学思想方法

高等数学教学中，要融入现代教育信息技术，要充分发挥现代教育信息技术的优势，把原本枯燥和抽象的数学内容转换成学生喜闻乐见的表现形式，最大限度的发挥高科技手段的表现形式，把高等数学知识表现为文字、图像、数字和声音等多种形式有机的合为一体的形式，充分展现数学理论产生、发展、变化的过程和数学本质，最大限度的调动学生学习的积极性和主动性，提高学生对高等数学的学习兴趣，培养学生利用数学去解决实际问题的能力。例如，在讲解用定积分的思想求曲边梯形的面积时，要表现当区间分割越来越小的时候，每个区间对应举行的面积和越来越接近曲边梯形的面积时，无论是从描述还是画图都比较困难，而利用几何画板或MATLAB等软件制作的课件去演示这一变化过程就非常方便。因此，在课程整合的过程中，要充分发挥信息技术的这一特点，帮助学生在较短的时间内完成对艰深的数学定理的理解，帮助学生更好地从本质上理解定理的内在联系。

数学思想方法的教学要求教师掌握深层的、广博的知识，以保证在教学过程中有明确的教学目标。教师要针对不同的数学内容，灵活设计教学方案，积极引领学生在主动探究数学知识的过程中亲身经历，在不同学科的融合中感悟、理解并掌握数学思想方法。让数学思想方法在与知识能力形成的过程中共同生成，真正领会数学的精髓，从而进一步提升学生的数学文化素养。

［1］徐利治.数学方法论选讲［M］.武汉：华中科技大学出版社，2000.

［2］黎加厚.基于现代教育技术的信息教育［J］.中国电化教育，1999，（07）.

［3］吴元梁.科学方法论基础［M］.北京：中国社会科学出版社，1991.