平面上有限级随机Dirichlet级数的亏函数研究

杨 祺

(新疆师范大学数理科学学院,新疆 乌鲁木齐 830054)

曹月波

(石河子大学师范学院，新疆 石河子 832000)

平面上有限级随机Dirichlet级数的亏函数研究

杨 祺

(新疆师范大学数理科学学院,新疆 乌鲁木齐 830054)

曹月波

(石河子大学师范学院，新疆 石河子 832000)

研究了平面上有限级随机Dirichlet级数的亏函数。在随机变量满足一般的条件下，证明了平面上精确级为ρ(r)的随机Dirichlet级数几乎必然无任意精确级小于ρ(r)的亏函数。

随机Dirichlet级数；亏函数；有限级；精确级

关于随机函数亏值的研究，已经取得了许多研究成果[1-5]。对于有限级随机Dirichlet级数的亏函数，文献[1]证明了全平面上有限级随机Dirichlet级数几乎必然没有亏函数。下面，笔者在随机变量满足一般的条件下，证明了平面上精确级为ρ(r)的随机Dirichlet级数几乎必然无任意精确级小于ρ(r)的亏函数❶。

1 基本概念与引理

考虑Dirichlet级数：

(1)

式中,s=σ+it,σ,t∈R，{bn}为复常数列，0=λ0<λ1<λ2<…<λn<…<+∞。若满足：

(2)

则级数(1)在全平面上是收敛与绝对收敛的，于是f(s)表示一整函数。记f(s)的最大模为：

引理2[6-7]设有限ρ级Dirichlet级数(1)满足条件(2),则有：

(3)

引理3[1,8]设函数f(z)与ψν(z)(ν=1,2,…,q)在|z|

考虑与级数(1)对应的随机Dirichlet级数:

(4)

引理4[5]设{Xn}是独立的随机变量序列，它满足∀n≥0,EXn=0，存在一个正数d,使得：

(5)

2 主要结果

(6)

证明用类似文献[6]中的方法易得。

(7)

取正整数p充分大,令：

(8)

下面先证明对任意p+2个元素：

必存在k′,k″∈{1,2,…,p+2}(k′≠k″)使得对任意j∈(n(1),n(2),…,n(N)}，恒有:

|Xj(ωj(k′))-Xj(|ωj(k″))|≤2μδj

用反证法。假设上述不成立，则存在相应的p+2个随机级数：

|Xj(ωj(k′))-Xj(ωj(k″))|≥2μδj

结合式(7)和式(8)有：

|Xj(ωj(k′))-Xj(ωj(k″))|>|βj(k′)-βj(k″)|

于是φk′≠φk″，这说明上面的p+2个亏函数互不相等，则由引理2，f至多能有p+1个不同的亏函数矛盾。

由引理4有:

(10)

于是由Fubini-Levi定理[3]，并结合式(8)、(9)有：

因此P(E)=0。从而定理2得证。

[1]周俊英，孙道椿.Dirichlet级数的唯一性定理和随机Dirichlet级数的亏函数[J]. 华南师范大学学报，2006(1):36-42.

[2]余家荣，丁晓庆，田范基. Dirichlet级数和随机Dirichlet级数的值分布[M].武汉，2004，52:98-100.

[3]孙道椿，黄立鹤.无限级随机Dirichlet级数[J].华南师范大学学报，1998(4)：87-93.

[4]孙道椿. 随机幂级数的亏函数[J]. 数学物理学报，1999，19(3)：356-360.

[5]田范基. 一般随机泰勒级数的例外函数[J].湖北大学学报，2002，24(3)：203-205.

[6]陈聚峰，刘名生.有限级Dirichlet级数及随机Dirichlet级数[J].数学物理学报，2005,25A(7)：965-973.

[7]吴世轩，宁菊红.有限级Dirichlet级数[J].江西师范大学学报，2008,32 (4)：982-985.

[8]杨乐.值分布论及其新研究[M]. 北京：科学出版社，1982. 40-45.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.04.003

O174.52

A

1673-1409(2011)04-0008-03