变系数二阶流体在偏心环空中非定常流压力梯度的数值计算

崔海清，李楠，杨立国，3，宋兴良

(1.东北石油大学提高油气采收率教育部重点实验室，黑龙江大庆163318;2.中石油大庆油田公司采油工程研究院，黑龙江大庆163453;3.中石油吉林油田公司，吉林松原138000)

变系数二阶流体在偏心环空中非定常流压力梯度的数值计算

崔海清1，李楠2，杨立国1，3，宋兴良1

(1.东北石油大学提高油气采收率教育部重点实验室，黑龙江大庆163318;2.中石油大庆油田公司采油工程研究院，黑龙江大庆163453;3.中石油吉林油田公司，吉林松原138000)

建立给定流量条件下变系数二阶流体在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的瞬时压力梯度方程，给出这种流动的时均压力梯度公式及相应的数值计算方法;以HPAM水溶液为例，对其在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的时均压力梯度进行数值计算和室内试验。结果表明:环空偏心度对时均压力梯度有明显影响，内管冲程和冲次对时均压力梯度的影响不明显;试验验证了时均压力梯度公式及相应数值计算方法的正确性。

变系数二阶流体;偏心环空;轴向往复运动;非定常流;压力梯度

聚合物驱油技术自推广应用以来取得了明显的驱油效果和较高的经济效益。聚驱与水驱相比，聚合物溶液具有特殊的流变性，可以显著提高原油采收率。但是，聚驱抽油机井与水驱抽油机井相比存在抽油杆偏磨严重、示功图肥大、泵效下降明显、检泵周期缩短等诸多问题，这些都与井筒中含聚合物溶液的产出液黏弹性有关。聚驱抽油机井产出液在井筒中的流动可视为变系数二阶流体在内管做轴向往复运动的偏心环空中的非定常流动。Wang Yan等［1］给出了变系数二阶流体做这种流动的内管压力分布;崔海清等［2］给出了变系数二阶流体做这种流动的瞬时流量分布;李楠等［3］对变系数二阶流体做这种流动的时均流量进行了数值计算。然而，在聚驱抽油机井实际生产过程中，人们关心给定流量条件下环空时均压力梯度的计算。常瑛等［4］利用待定系数法建立了Newton流体做这种流动时的时均压力梯度公式，并对时均压力梯度进行了数值计算;徐国民等［5］采用数值方法对幂律流体做这种流动的时均压力梯度进行了计算。笔者在建立给定流量条件下变系数二阶流体在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的瞬时压力梯度方程的基础上，给出这种流动的时均压力梯度公式及相应的数值计算方法，利用HPAM水溶液进行数值计算，并用室内试验验证本文中所建立的时均压力梯度公式及相应数值计算方法的正确性。

1 时均压力梯度公式的建立

1.1 假设条件

各向同性不可压缩变系数二阶流体［6-7］在无限长垂直偏心环空中做轴向非定常等温层流流动;流体的密度为ρ;环空内管半径为Rin，外管半径为Rout，环空偏心度为ec;环空外管静止，内管以速度U(t)做轴向往复运动;环空中流体的流量Q0为常数;作用在环空流体上的瞬时压力梯度为P。

1.2 控制方程

双极坐标系下变系数二阶流体在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的运动方程［1］为

其中

式中，w为流体的速度，m/s;双极坐标系下c、s及C的表达式可参见文献［1］;η为特征黏度，θ1为第一法向应力差系数，二者均为一阶Rivlin-Ericksen张量的第二不变量I2的函数;n为流性指数;k为稠度系数，Pa·sn;n1为物质常数，由试验确定;A1为物质常数，由试验确定，N·sn1+2/m2。初始条件［2］为

式中，wP(ξ，ζ)为双极坐标系下变系数二阶流体在偏心环空中Poiseuille流的速度分布，可以通过数值方法求得［8-10］。

边界条件［1］为

其中

式中，S和f为内管冲程和冲次

1.3 瞬时压力梯度方程

由式(1)得

则

由变系数二阶流体在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的瞬时流量公式［10］有

将式(7)代入式(8)可得

令Q=Q0，有

式(10)即为给定流量条件下变系数二阶流体在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的瞬时压力梯度方程，对其进行数值求解即可得到给定流量Q0条件下的瞬时压力梯度P。

1.4 时均压力梯度公式

时均压力梯度¯P的计算公式为

式中，T为计算时间周期。

2 数值计算方法

利用有限体积法(FVM)对由式(1)～(5)构成的变系数二阶流体在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的控制方程进行数值求解。其中，在对上述控制方程进行离散时，时间积分方案采用全隐模式，并利用交替方向隐式迭代法(ADIIP)求解离散方程组，得到一个周期T内时间节点tK时计算域上网格节点(ξi，ζj)处的速度场离散解由，根据零点定理确定瞬时压力梯度方程(10)的有根区间，并采用快速弦截法对该方程进行数值求解，得到一个周期T内时间节点tK时的瞬时压力梯度PK。最后，由PK采用复化梯形法对式(11)进行数值计算即可得到时均压力梯度P¯。

3 数值计算结果分析

根据上述时均压力梯度公式(11)及相应的数值计算方法，以质量分数0.1%的HPAM水溶液为例，对给定流量条件下其在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的时均压力梯度进行数值计算。HPAM水溶液n=0.7408、k=0.1117 Pa·sn、n1=－1.4569、A1=0.7822 N·sn1+2/m2、ρ=999.0 kg/m3。Rin=0.010 m，Rout=0.035 m。离散步长Δξ=(ξout－ξin)/20，Δζ=π/40，Δt=T/20。

不同环空偏心度(ec)、内管冲程(S)和冲次(f)下HPAM水溶液在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的时均压力梯度与流量的关系曲线如图1所示。

图1 时均压力梯度与流量的关系曲线Fig.1 Relation curves between time average pressure gradient and flow rate

从图1可以看出:环空偏心度对时均压力梯度的影响明显，且流量越大环空偏心度的影响越明显;3种冲程和冲次下的3条曲线差异不大，说明内管冲程和冲次对时均压力梯度的影响不明显。

4 试验验证

4.1 试验装置

试验装置如图2所示。

图2 试验装置流程简图Fig.2 Flow chart of experimental apparatus

可调速电动机带动下做轴向往复运动的实心不锈钢环空内管外半径为0.010 m，有机玻璃环空外管内半径为0.035 m，上下两个测压孔之间距离L=2.0 m。分别采用DP5E型压力传感器和LWGY/FI-TBS型电子流量计测量压差Δp和流量Q。

4.2 试验液体

试验所用液体是用普通自来水和大庆炼化公司生产的相对分子质量为2.5×107的HPAM干粉经充分搅拌、静置、稳定后配制成的质量分数为0.1%的HPAM水溶液，其密度ρ、流性指数n、稠度系数k、物质常数n1和A1均与数值计算所用的参数值相同，液体温度为15.9℃。

4.3 试验结果

试验时流量的变化由大到小，试验液体的温度变化控制在±1℃。根据试验数据绘制的0.1%的HPAM水溶液在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的实测时均压差与时均流量的双对数关系曲线见图3。

图3 0.1%的HPAM水溶液实测时均压差与流量的关系曲线Fig.3 Relation curve between measured time average pressure difference and flow rate of 0.1%HPAM aqueous solution

给定流量条件下视为变系数二阶流体0.1%的HPAM水溶液在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的计算时均压力梯度P¯和实测时均压力梯度见表1(其冲程、冲次和偏心度同图3)。其中，

表1 计算与实测时均压力梯度对比Table 1 Comparison between calculated and measured time average pressure gradient

5 结论

(1)环空偏心度对时均压力梯度的影响明显，内管冲程和冲次对时均压力梯度的影响不明显。

(2)HPAM水溶液在内管做轴向往复运动的偏心环空中非定常流的室内试验验证了本文中给出的时均压力梯度公式及相应数值计算方法的正确性。

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(编辑 李志芬)

Numerical calculation of pressure gradient of unsteady flow of the second-order fluid with variable coefficients in eccentric annulus

CUI Hai-qing1，LI Nan2，YANG Li-guo1，3，SONG Xing-liang1
(1.Enhanced Oil and Gas Recovery Key Laboratory of Ministry of Education，Northeast Petroleum University，
Daqing 163318，China;2.Production Engineering＆Research Institute，Daqing Oilfield Company，PetroChina，Daqing 163453，China;3.Jilin Oilfield Company，PetroChina，Songyuan 138000，China)

An equation of instantaneous pressure gradient for the unsteady flow of the second-order fluid with variable coefficients in eccentric annulus with the inner cylinder reciprocating axially under the precondition of a known flow rate was established.And a formula of time average pressure gradient and correspondent numerical method were presented.Using the HPAM aqueous solution，the time average pressure gradients of the unsteady flow of the fluid in eccentric annulus with the inner cylinder reciprocating axially were numerically calculated，and the correspondent experiments were carried out.The results show that the influence of the annulus eccentricity on the time average pressure gradient is obvious，while the influences of the stroke and the stroke-frequency of the inner cylinder on the time average pressure gradient are not obvious.The correctness of the formula of time average pressure gradient and the correspondent numerical method was tested and verified through experimental results.

second-order fluid with variable coefficients;eccentric annulus;reciprocating axially;unsteady flow;pressure gradient

TE 355.5

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.01.011

2010－06－24

国家自然科学基金项目(50674019);黑龙江省自然科学基金项目(A200501)

崔海清(1949－)，男(汉族)，黑龙江哈尔滨人，教授，博士，博士生导师，主要从事石油工程非Newton流体力学方面的研究。

1673-5005(2011)01-0061-04