基于灰理论的时滞经济预测模型及应用＊

唐伟敏

（中南财经政法大学会计学院 武汉 430073）

0 引 言

灰色系统理论自1982年问世以来，理论研究与应用都取得了很大进步.GM（1，1）模型作为常用模型，在经济领域也常用作预测模型.在建立GM（1，1）模型进行预测时，模型误差是不可避免的.模型残差产生的原因有很多，其中一个就是模型未引入滞后项所导致的，这在经济数据中是普遍存在的.滞后效应是指因变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象.因此，本文在对残差进行分析时，试图利用时间序列处理数据的思想对数据相对较多的序列进行残差修正，充分提取残差信息.

为了提高模型的精度，有很多学者专家从残差方面研究，对GM（1，1）模型进行改进.文献［1－2］介绍了已提出的残差GM（1，1）模型，时序残差GM（1，1）模型等.文献［3－4］针对常规的灰色模型没有考虑时滞效应的问题，在 MGM（1，m）模型中引入时滞项，提出了时滞 MGM（1，m）模型.文献［5－6］采用GM（1，1）模型对原始数据进行预测后，再用ARMA模型对残差进行拟合，利用二者的组合模型进行预测，取得了较好的结果.文献［7－8］与文献［9－11］引入了 GM（1，1，sinω）模型，该模型对于波动性较大且具有周期摆动的资料较为适用，在离散性越大的情况下越能体现出它的优越性.

本文在对残差进行自相关分析的基础上，结合实际中经济数据存在的时滞效应，提出新的时滞GM（1，1）模型，在实例中显示，拟合效果较好，并且新模型的残差为白噪声序列.

1 模型的建立与检验

1.1 GM（1，1）模型

将最小二乘法求得的结果代入微分方程，求解的 GM（1，1）预测模型为

1.1.2 模型的检验

式中：ρ为取定的最大百分比，一般取0.5；Δ（k）为原始序列与模型拟合值的绝对误差，Δ（k）＝｜（0）（k）－ x（0）（k）｜.

1.2 AR模型

具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR（p）：

条件一：φp≠0，这个限制条件保证了模型的最高阶数为p.

条件二：E（εt）＝0，Var（εt）＝σ2ε，E（εtεs）＝0，s≠t，这个限制条件实际上是要求随机干扰序列｛εt｝为零均值白噪声序列.

条件三：Exsεt＝0，∀s＜t，这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关.

当φ0＝0时，自回归模型又称为中心化的AR（p）模型.对一个平稳非白噪声且自相关的序列，可以建立AR（p）模型来提取信息.

1.3 一种新的时滞GM（1，1）模型

1.3.1 模型建立

为了使模型的精度更高，对数据的信息从分利用，对GM（1，1）模型拟合的残差进行白噪声检验，若发现残差序列非白噪声，说明残差部分还有信息没有提取，不能将残差部分丢掉，因此需对残差建立适当模型来修正灰色模型预测的误差.当残差存在自相关时，即存在滞后问题，因此尝试用含滞后项的灰色 GM（1，1）模型，考虑x（1）（t）－＾x（1）（t）的滞后问题，取含有滞后时期为p 阶的灰色GM（1，1）模型进行分析.

1.3.2 模型求解

定理 若采用最小二乘线性回归拟合，待估参数为：u＝［ψ1… ψpc b］T，则最小二乘法求解可得＾u＝（BTB）－1BTY.式中：

证明 将数据代入模型x（1）（t）＝ψ1x（1）（t－1）＋…＋ψpx（1）（t－p）＋ce－a（t－p）＋b写成矩阵形式如

两边同乘以（BTB）－1，即可得＝（BTB）－1BTY，定理成立.

2 在GDP指数预测中的应用

国内生产总值是反映一国国民经济的生产规模及综合实力的总量指标，在经济研究中发挥着重要的作用，是宏观经济中最受关注的经济统计数字，是目前各个国家和地区用来衡量该国或地区的经济发展综合水平通用的指标，同时也是政府制定经济发展战略和经济政策的重要依据.因此，对我国GDP指数进行预测具有重要意义.数据来源：中国统计年鉴.（1978～2008年GDP指数，以不变价格计算，1978年为100）.

下面运用3种不同的方法对我国GDP指数序列进行建模.

2.1 传统GM（1，1）模型

2.2 文献［2］单变量的时滞GM（1，1）模型

选择拟合效果最好的三阶滞后模型如下

2.3 新的时滞GM（1，1）模型

通过平稳性检验发现残差序列平稳2阶自相关，利用SAS软件得到下面的残差AR（2）模型表达式为

式中：残差υt为白噪声序列.说明信息已提取完.

计算出拟合的平均相对误差绝对值MAPE＝1.1438%，说明精度有明显提高.

对回归方程参数显著性检验可以看出，方程4个待估的参数均显著.对残差υt进行平稳性检验以及白噪声检验，发现残差显著为平稳白噪声序列，因而没有信息可以提取，分析到此可结束.

3种模型结果对比见表1.

表1 3种模型结果对比

续表1

从表1可以看出3种模型的拟合值均能通过检验，但是在残差分析方面，只有第3种模型的残差为白噪声，并且平均相对误差绝对值明显小于前两种模型的残差，精度98.86%，灰色关联度也显著大于前两个模型的，由此可见，本文提出的时滞GM（1，1）模型可以用来预测经济数据.

3 结 论

1）本文采用较多数据进行分析，是为了引入时间序列平稳白噪声序列无信息可提取的思想，用来说明经济系统变量存在的滞后性，取得了较好的结果，实际上，针对相对较少数据加入滞后项后精度也大大提高，其滞后期阶数由拟合残差的平均相对误差绝对值最小而定.

2）对于经济变量数据，一般都存在滞后性，本文针对我国1978～2008年的GDP指数数据，在运用灰色GM（1，1）模型的基础上，运用时间序列AR模型处理经济数据滞后性问题，提出新的滞后GM（1，1）模型，在模型精度上取得了较好的结果.

3）对于滞后期的选取，本文由残差滞后分析、参数显著性以及对平均相对误差绝对值最小所得，实际上计算出滞后一期的 ，滞后三期的（且有两个滞后项的回归系数不显著）.

4）本文建立新的时滞GM（1，1）模型中发展系数a没变，在参数估计方面，也可以采用递推的方程估计，因而该模型还可以从这方面进行优化.

［1］熊和金，徐华中.灰色控制［M］.北京：国防工业出版社，2005.

［2］王 燕.应用时间序列分析［M］.北京：中国人民大学出版社，2005.

［3］罗 诚，杨培兵.时滞 MGM（l，m）模型及其在测量中的应用［J］.四川测绘，2008，31（1）：16－20.

［4］肖新平，宋中民，李 峰.灰技术基础及应用［M］.北京：科学出版社，2005.

［5］Zhou Z J，Hu C H.An effective hybrid approach based on grey and ARMA for forecasting gyro drift［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2008（35）：525－529.

［6］杜宏云，王正新，党耀国.时序系数 GM（1，1）模型及其应用［J］.统计与决策，2007（12）：136－137.

［7］郭立春，王汉宁，吴 伟，等.应用 GM（1，1，sinω）模型预测肾综合征出血热发病率研究［J］.中国热带医学，2009，9（3）：415－417.

［8］刘 树，王 燕，胡凤阁.对灰色预测模型残差问题的探讨［J］.统计与决策.2008（1）：9－11.

［9］刘从柱，费良军，赵新宇，刘健雄.正弦修正灰色模型在灌区引水量预测上的应用［J］.人民黄河.2006，28（12）：46－47.

［10］迟道才，高 丹，张政利，李 禄，李帅颖，孟丽丽.基于灰色两次拟合与残差修正的水稻需水量预测模型研究［J］.水利科技与经济.2007，13（12）：883－885.

［11］鲍 枫，唐祯敏.城市公共交通客运量修正灰色模型［J］.北京交通大学学报：自然科学版，2005，29（3）：88－91.