小波分析方法在图像压缩中的应用

成丽波

（长春理工大学 理学院，长春 130022）

基于MATLAB的小波分析算法的应用很广泛，本文使用的是基于MATLAB编程的小波分析方法在图像压缩中的应用，主要涉及到的压缩方法是低频信息保留算法和小波包最佳基压缩算法。

1 多分辨分析

空间L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中满足如下条件的一个空间序列

2 二维离散小波变换

由于图像是二维信号，因此，首先需要把小波变换由一维推广到二维。令 f(x1,x2)表示一个二维信号，x1,x2分别是其横坐标和纵坐标，ψ(x1,x2)表示二维的基本小波。对应的尺度函数φ(x1,x2)，若尺度函数是可分离的，即

令ψ(xi)是与φ(xi)对应的一维小波函数，则二维的二进小波可表示为以下三个可分离的正交小波基函数：

这说明在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。先沿 x1方向分别用φ(x1)和ψ(x1)作分析，把 f(x1,x2)分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿x2方向用φ(x2)和ψ(x2)做同样分析。

二维小波分析的分解算法：

3 基于小波分析的图像压缩

小波分析用于图像压缩的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰。

在此结合MATLAB中小波程序设计，介绍两种图像压缩方法的原理和实现过程。

3.1 低频信息保留压缩算法

一个图像在进行小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率不同。高分辨率即高频子图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最重要的部分是低频部分，所以，一个最简单的压缩方法就是利用小波分解，去掉图像的高频部分只保留低频部分。

该算法（以二尺度为例）是基于多分辨分析提出来的，具体如下：（1）装入图像。（2）用二尺度分辨率分析函数完成对信号x在尺度N上的二维分解。（3）提取二维小波分解的低频函数。（4）对二维小波函数进行单支重构。（5）显示分解后各频率成分的信息。（6）保留小波分解第一层低频信息，进行图像压缩，并且显示第一层低频信息。（7）对第一层信息进行量化编码。（8）改变图像的高度为原图像的1/2。（9）显示第一次压缩图像及其大小。（10）求出第一次压缩图像的信躁比。（11）保留小波分解第二层低频信息，进行图像压缩。（12）对第二层信息进行量化编码。（13）改变图象的高度对第一次压缩的1/2。（14）显示第二次压缩图像及其大小。（15）求出第二次压缩图像的信躁比。其中，应用到的MATLAB相关函数有：（1）wavedec2为对图像用bior3.7进行分解；（2）appcoef2函数为提取二维小波分解低频系数。（3）detcoef2函数为提取二维小波分解高频系数。（4）wrcoef2函数为对二维小波系数进行单支重构。（5）wcodemat为对矩阵进行全局量化编码。

3.2 小波包最佳基压缩算法

小波包的算法流程：（1）装入原始图像（2）画出原始图像（3）获取图像的默认阈值（4）用全局阈值选项进行图像的压缩。（5）画出压缩后的图像。其中，应用到的MATLAB相关函数有：（1）ddencmp函数为获取默认阈值。（2）wpdencmp函数为用小波包进行图像压缩。下面给出部分实验结果及实验数据：

图1 图像分解前后效果对比图Fig.1 Effect comparison of image decomposition

表1 图像压缩大小Tab.1 Image compression

图2 压缩重构效果图Fig.2 Effect picture of compression and reconstruction

表2 压缩百分比Tab.2 Compression rate

表3 峰值信噪比Tab.3 Peak signal to noise ratio

通过上表可以得到结论：

（1）在这四幅图中，可以看到：第一次压缩后的图像在视觉上比原始图像清晰，这是因为原图像带有的噪声是在图像的高频信息中，我们使用的压缩方法就是去除高频信息保留低频信息，因而，经过第一次压缩的的图像比原图像清晰。但是经过第二次压缩后，图像变得模糊，那是因为图像第二次压缩是将第一次提取的低频信息分解，去除高频信息，保留低频，这样，丢掉了一些信息，所以图像变得不清晰。但是从理论上来说，这种方法可以对图像进行无限压缩。

（2）通过计算峰值信噪比，我们可以客观地得到图像的压缩效果，一般来说峰值信噪比越大，图像压缩效果越好，因此本文得到的峰值信噪比是很高的。

现在对压缩图像进行重构：

下面是用bior3.7一次压缩重构和二次压缩重构的实验结果：

对重构图像如表4。

表4 重构偏差表Tab.4 Deviation card

由以上结果，可以看出

（1）Bior3.1在对第一次压缩重构中偏差为0，说明它对第一次压缩图像恢复得很好。我们在对一次图像进行解压缩时可以选择此小波基。

（2）Bior3.7小波基和Sym2小波基在对二次压缩图像重构过程中，偏差相对较小，尤其是小波基sym2，在对两次（或者两次以上）压缩图像进行解压缩时，我们可以选择此小波基。

［1］陈武凡.小波分析及其在图像处理中的应用［M］.北京：科学出版社，2002.

［2］刘明才.小波分析及其应用［M］.北京：清华大学出版社，2003.

［3］胡昌华，张军坡，夏军，等.基于MATLAB的系统分析与设计—小波分析［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2000.

［4］林有作，成丽波.基于小波分析的数字图像噪声消除［J］.长春理工大学学报：自然科学版，2004，27（1）：69-71.