河床形态冲淤调整的分形度量

周银军，陈 立，孙宇飞，程 伟

（1.长江科学院河流研究所，武汉 430010；2.武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉 430072）

河床形态冲淤调整的分形度量

周银军1，2，陈 立2，孙宇飞2，程 伟2

（1.长江科学院河流研究所，武汉 430010；2.武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉 430072）

将河流动力学与数学中的分形理论相结合，以河床冲淤较为剧烈的三峡坝下游典型分汊河段为例，分析了河床表面分形维数（BSD）的变化及其与相应河段平面、纵剖面、横断面冲淤调整特点的关系。结果表明：BSD具有时空变异性，一方面不同类型河段BSD是不同的，其可在一定程度上反映河型，甚至河型亚类的差异；另一方面同一河段BSD随河床冲淤进程亦发生相应变化，其与河床形态调整存在着必然联系。同时，BSD值与典型剖面形态的复杂程度呈正相关性，可从整体上描述河床表面形态冲淤起伏的剧烈程度。BSD作为河床表面形态冲淤起伏程度的定量工具，其在河流动力学领域中的河势量化分析、河型判别及河道形态阻力计算等方面将具有一定的参考价值。

河流动力学；河床表面分形维数；河床形态；度量

1 概 述

河床是约束河道水沙运动的可动边界，其形态既影响着河道水流的流动结构、水流阻力、泥沙输运，又是河道水沙运动的结果。对河床形态认识和度量是河流动力学的一个基本问题。床面形态具有三维性，以往的量化方法多针对河道的二维剖面，如平面形态、纵剖面形态以及断面形态等［1］，难以反映整体情况及整个床面形态的非线性特征。分形理论的出现，则为此提供了一个有力工具。分形理论源于曼德布罗特对英国海岸线长度的研究［2］，目前已广范应用于地貌学、测绘学、材料学、统计学等学科中［3］。分形维数可在不同的领域度量各类研究对象的非线性特征，且往往用于揭示研究对象某一方面较为复杂的物理本质或同其他物理量建立联系。对与河流动力学相关的领域而言，流域分维可用于形容流域地貌形态的复杂程度并与流域侵蚀存在的相关关系［4－6］；水系（渠系）分维主要用来量化水系的发育程度并可用于构建河网系统的自组织模型［7－9］；来水来沙分维用于描述水沙过程的均匀度［10－12］，其中径流过程分维还可用于洪水分期［13］；沙粒分维表征的是泥沙颗粒的表面形貌［14］，其直接关系到颗粒粗糙度［15，16］及其表面吸附特性［17］；紊流分维则主要用来研究涡旋的自相似性及其紊动的间歇性［18－20］。

亦有研究者将分形理论应用于量化河床形态的各二维剖面，Nikora V.I.［21］，Sapozhnikov V.B.［22］，冯平［23］和白玉川等［24］先后研究了河段平面形态（河长）的分形特征，认为河床形态分维D体现了河流的蜿蜒程度［23］，甚至可用于河型判别［22，23］；Rob ert A.［25］和金德生［26］则分别对河道断面及深泓纵剖面分维进行了研究，认为河道纵剖面分维体现了河道纵剖面的曲折性，可作为河流纵向消能的一种量度。

总体而言，目前对河流形态分形度量的研究多是针对某个剖面的线分维（其分维数介于1～2）度量，而对于整个河床表面形态的分形度量（属于面分维，介于2～3）则是比较少的。本文拟以河床冲淤变化较为剧烈的枢纽下游近坝分汊河段为例，对各河段河床表面分形维数（Bed Surface fractal Di mension，以下简称BSD，介于2～3）的变化进行研究，分析BSD与床面形态调整的关系，对BSD的物理本质及其在河流动力学中的意义进行探讨。

2 BSD的计算方法

BSD的计算在分形理论中属于表面分维的范畴［3］。作为一个新兴的理论，面分维的计算方法有很多，目前还没有形成相应的规范可供遵循［6］，因此，有必要在此简单说明本文BSD的计算方法。

（1）数据源来自实测河道水下地形图（DWG格式），在提取高程数据以后利用GIS软件建立床面DEM，以此作为分维分析的对象；

（2）采用投影覆盖法（表面积 尺码法［27］的一种）来对河道DEM进行分形分析，计算出河床表面的分形维数，图1为投影覆盖法示意图，式（1）为计算公式。

式中：A（r）为不同尺度下的河床表面积；r为不同的尺码；Ap（r）为不同尺度下的河床平面面积；D即为河床表面的分形维数，介于2～3之间。显然，对于规则边界，Ap（r）为一常数，可记为C0，对与河道这种具有不规则边界的表面，不同的尺码覆盖，所得的Ap（r）则是不同的。

图1 河床表面投影覆盖法示意图Fig.1 The projection covering of the riverbed surface

图2分析河段示意图Fig.2 The analyzed reach

采用人工判定法确定无标度区，经过相关试验，并考虑到实际河道地形的测量精度，本文r的取值范围设定为（52 m，52×24m）。

3 典型河段床面调整的分形分析

3.1 典型河段冲淤特点简要分析

基于2003年3月至2008年3月原观分析资料，对各分汊河段的冲淤调整特点简要分析如下（见图2）。

宜昌分汊段为一顺直中水分汊河段，上接镇川门，下至下临江坪，全长14 km，处于山区河道与平原河道之间的过渡段。河段较大的洲滩为胭脂坝，属于硬土砂砾质江心洲。三峡蓄水以来，宜昌分汊河段总体河势稳定、河床持续冲刷，冲刷在时间和空间上具有集中性，时间上集中于蓄水后第一年，空间上集中于胭脂坝汊道下段和河段中下部的临江坪段，冲刷形式以深泓下切为主，洲滩变化以胭脂坝洲头后退为主要形式，尤以2006年3月至2007年3月较为明显，胭脂坝整体在蓄水后略有萎缩，但程度有限。

宜都分汊河段距离宜昌39 km，上起云池，下至白洋镇，全长14 km，为急弯、低水分汊河段。在河段右岸弯顶略下的位置有清江入汇，在清江入汇口稍上的河心有南阳碛潜洲，水道因此分为左右两泓，左泓为沙泓，右泓为石泓。河段内左岸有中沙咀边滩和沙坝湾边滩，右岸有三马溪边滩和大石坝边滩。三峡蓄水以后，河段整体河势变化不大，各年持续冲刷，且幅度较大，主要冲刷部位集中于沙泓上、下浅区，石泓，南阳碛以及沙坝湾边滩，洲滩变化以南阳碛洲面高程下降和沙坝湾边滩不断冲刷崩退为主要形式。

关洲分汊段位于长江中游荆江河段进口，属双股微弯、高水分汊河型，起于枝城大桥，止于伍家口，长14 km。关洲左汊习称为关洲夹，为次槽，右汊为主槽，为常年主航道。关洲为砂卵石江心洲，河道左岸有沙集坪边滩和同心垸边滩。蓄水以来，关洲河段有冲有淤，以冲为主，整体河势基本稳定，冲刷量各年相比，以2004年3月至2005年3月为最大，该年冲刷量占5年总体冲刷量的78.4%，关洲左右两汊相比而言，右汊相对稳定，略有冲刷下切，左汊关洲夹冲淤变化较为剧烈，主要冲刷形式以汊道进出口展宽为主，而淤积则表现为关洲夹中心滩的出没，关洲形态基本稳定。

芦家河分汊段自陈二口至昌门溪，全长12 km，为微弯低水分汊、且有分流口的水道，其进口右侧有松滋河分流入洞庭湖。河道内有碛坝将河槽分为两汊，沙泓位于左侧，为枯水期主航道；石泓位于右侧，为中、洪水期主航道。三峡蓄水以后，该河段河势保持稳定，各年份有冲有淤，整体表现为冲刷，但冲淤量相对以上3个河段为小，其河道主槽的冲刷下切并不明显，更多是在碛坝尾部，羊家老边滩头部附近有较大程度的冲淤变化，其形式主要以边（心）滩淤长崩退和石泓的枯水河槽宽度变化为主。

3.2 各河段BSD变化分析

根据各河段各年枯水期实测水下地形图，采用投影覆盖法，计算出各河段蓄水后BSD，如表1。

由表1可以看出，BSD具有时空变异性：

（1）同一时期不同分汊河段的BSD不同，作为微弯高水分汊河型的关洲分汊段BSD最大，而弯曲低水分汊河型的宜都分汊段及顺直中水分汊河型的宜昌分汊段次之，微弯低水分汊河段的芦家河分汊段最小，因此，BSD在一定程度上能体现同一河型不同亚类的差异；

（2）各河段蓄水后不同年份BSD发生变化，其必然与河道冲淤调整有关。

河道的冲淤调整通常可以由其平面形态、横断面形态及深泓纵剖面形态等二维剖面的变化来反映，而BSD是从整体上、利用了河床地形的三维数据来对河床形态进行描述，综合性地反映河床形态的变化，显然，两者所量化的对象是一致的，都是河床形态。其次，两种表达方式的理论出发点亦具有相似性，二维形态量化指标，如深泓均方差、滩槽差、曲折系数等，可量化纵向起伏程度、横向形态的窄深程度、河道平面的曲折程度，而基于统计分形得来的BSD则主要用于刻画对象的复杂、破碎程度，两者的出发点具有相似性。因此，可首先对各剖面形态进行量化，然后通过各河段BSD大小与典型剖面变化的相关分析，来探讨BSD与河床形态的内在联系。

需要说明的是，采用表面积 尺度法对地貌表面分形维数进行直接计算，即未对垂向坐标进行放大的情况下，其计算出的分维数一般均小于2.05（包括沟蚀丛生的黄土高原［28］），而河床表面处于河道水流整体侵蚀作用之下，表面较一般自然陆地地貌更为平缓，故本文所得分维数多在2.001以下，是基本合理的。

表1 各典型河段历年河床表面分形维数统计表Table1 BSD of each reach in 6 successive years

3.3 各河段BSD变化与河床冲淤调整的内在联系

3.3.1 各剖面形态的量化方法

由于4个河段均为分汊河段，所以横断面形态变化以（心）滩槽高差来作为量化指标，所取断面均为各河段冲淤变化较为剧烈的部位，如宜昌河段为宜枝46断面；宜都河段为弯顶对应断面，该断面横断南阳碛；关洲河段则为关洲夹中心滩（出没）所处断面；芦家河河段为碛坝尾部断面。

在河段整体坡降不太大的情况下，各河段深泓纵剖面起伏程度的变化可以以河段各深泓点高程的标准差为量化指标。

而河段平面形态变化的量化方法则难以统一，鉴于各河段近年河势稳定，平面变化仅表现为局部边（心）滩的淤长蚀退，其量化指标也以某一边（心）滩的冲淤变化来大致反映，如宜昌河段以胭脂坝洲头（0 m等深线，下同）后退幅度为指标；宜都河段则取沙坝湾边滩的后退幅度；关洲河段以汊道进口处的沙集坪边滩后退幅度为量化指标；芦家河河段由于羊家老边滩形态变化无常，0 m线此进彼退，难以单纯以某一处冲淤来反映整个边滩变化，故只能以整个洲滩面积（0 m等深线以上范围）变化来作为量化指标。

由于上述指标的数量级或单位有所不同，为了便于对各量化指标进行相关分析，因此有必要对其进行如下归一化处理，

式中：Ximin，Ximax为各河段某一量化指标集合的最小值和最大值；珔Xik为标准化后的量化指标。

3.3.2 各剖面形态量化指标与BSD的关系

各河段BSD与各二维剖面形态量化指标的对应关系如图3所示，将BSD与各二维剖面形态量化指标进行相关性分析，可以得到表2。

表2 各河段BSD与相应二维剖面形态量化指标相关系数Table2 The correlation coefficients between BSD of each reach and the quantitative indicators of the corresponding 2 D cross section

图3 各河段BSD与相应二维剖面形态量化指标对应关系图Fig.3 Relationship between BSD of each reach and the quantitative indicators of the corresponding 2 D cross section

由图3、表2可以看出，各个河段的BSD均会与其某些二维剖面形态指标存在一定的相关性，且可能与某一个剖面形态指标具有较好的相关性，如宜昌分汊段与其BSD相关性较好的剖面形态指标是其深泓标准差，宜都分汊段为沙坝湾边滩后退幅度，关洲分汊段与芦家河分汊段BSD与其二维剖面形态相关性不如以上两河段，但仍可以看出关洲分汊段与其BSD相关性较好的剖面指标为沙集坪边滩后退幅度，芦家河分汊段为碛坝尾部滩槽差。

结合前述河演分析结果，不难看出上述4个相关性较好的指标均为各河段冲淤变化较为剧烈的部位。

宜昌分汊段胭脂坝多年洲面高程变化不大，而三峡蓄水以来，深泓下切明显且部位集中，其深泓的集中下切使得其深泓标准差有所加大，这表示着其深泓纵剖面曲折程度的加大，同时其BSD亦随之加大。从图3可以看出：宜昌分汊段BSD与深泓标准差呈明显的正相关关系，而2006年3月至.2007年3月略有例外。其原因有二：一是当年深泓下降程度极小，仅为0.046 m；二是2006年3月至2007年3月，胭脂坝洲头高程降幅较大，甚至形成横向串沟，在一定程度上抵消了该年深泓下降而产生的滩槽差距。

宜都分汊段主要的冲淤调整体现在汊道段冲刷以及南阳碛和沙坝湾边滩的崩退，尤其是沙坝湾边滩，逐年崩退，引起深泓左摆，河道曲率亦有所增大，对整个河段的平面形态造成明显影响，其相应BSD亦为增大趋势，其中2004年2月至2005年4月为例外，这要结合典型横断面的变化来分析，南阳碛横断面位于汊道中部，其在该年度的变化出现了特殊情况：在其右汊石泓冲刷下切的同时，南阳碛洲面高程也大幅下降，仅为34.37 m，为历年最低，使得滩槽差减小，整个横断面形态趋于平缓，不规则程度有所减小。

关洲分汊段，江心洲头部由于其特殊的形态，使得其抗冲性较强，整体变化不大，两汊对比，则显然是左汊关洲夹冲淤变化较为剧烈，而关洲夹又以其进出口段变化最为明显：其中关洲夹进口段，因沙集坪边滩持续冲刷崩退，而表现为一定幅度的冲刷展宽；关洲夹出口段，冲淤变化亦较为明显，甚至伴随着汊中心滩的出没，改变着河段局部、尤其是关洲夹的横断面形态，进而影响BSD的变化。其大体表现为：汊道进口冲刷则BSD增加，进口淤长则BSD减小；关洲夹心滩淤长、断面滩槽差加大则BSD增加，反之，心滩冲刷、断面滩槽差减小则BSD减小。

芦家河分汊段BSD变化幅度较小，主要与其河段抗冲性较好，整体冲淤变化不大有关。芦家河河段冲淤变化较为剧烈的部位是发生于石泓尾部，其具体表现以羊家老边滩滩缘向碛坝尾部方向淤长、崩退为主，影响石泓尾部枯水河槽河宽（0 m等深线宽度）的变化，改变着局部的断面形态，BSD亦随着滩槽差的加大而有所增大，同时其羊家老边滩面积加大，BSD加大，反之，则BSD减小。

通过以上对BSD与各传统二维剖面形态量化指标的相关分析，可看出BSD与这些剖面形态都有一定的内在关系，当河床某部冲淤变化剧烈，引起其剖面形态变化时，其BSD亦会发生相应改变，当然仅一个剖面的变化是不能完全体现整个河段河床表面形态及其BSD变化的，BSD与各二维剖面之间是整体与部分的关系，其是在整体上刻画着河床的表面形态。

值得关注的是，当在某一特定时期，河段BSD与一个（甚至不止一个）剖面形态指标存在较好的相关关系时，其变化往往表现为：该剖面形态的复杂程度愈大，则整体BSD值愈大，即BSD反映着河床表面形态冲淤起伏的剧烈程度。

4 量化床面形态的意义

BSD可以量化河床表面形态冲淤起伏的剧烈程度，这将使其在河流动力学领域具有较大的应用潜力，尤其关系到整体河势分析、河型判别及河道综合阻力计算等方面。

如前文分析，同一河段BSD可随着河床冲淤进程而变化，这说明BSD用于量化整体河势的调整幅度，通过其值的变化可更为明确地判断河段在某一时期整体河势的稳定与否。

不同类型河段的BSD不同，这是因为不同类型河段河床表面冲淤起伏的剧烈程度是不同的。如表1所示，微弯高水分汊河型的BSD较大，弯曲低水分汊河型及顺直中水分汊河段BSD次之，微弯低水分汊河型则较小，这显然与分汊河型不同亚类之间河床冲淤起伏程度的不同有关：高水分汊河型以及弯曲分汊河型河床的起伏程度一般会分别大于低水分汊河型及顺直分汊河型；即使河段内存在着冲淤调整、BSD值有所变化，但在未发生河型转化之前，BSD值变化则会局限于一个相对较小的范围内，在一定程度上仍会体现出了河型、甚至河型亚类的差异。BSD的这一特性，可使其成为河型判别一个新的参考标准。当然，若将BSD作为河型判据，还需要收集更多的、不同类型的河段BSD数据，划分出不同河型BSD的活动区间。

河床形态冲淤起伏程度的调整将引起河道阻力的变化。根据河道综合阻力划分单元［1］，可将河道阻力划分为2部分：沿程阻力和局部阻力。沿程阻力主要指床面阻力，即沙粒阻力和沙波阻力；局部阻力主要指河势阻力和成型淤积体（洲、滩、岛等）阻力以及人工建筑物附加阻力。而床面形态变化主要包括沙波形态变化、成型淤积体的变化，甚至会引起河势的变化，这些都将直接影响着沙波阻力、成型淤积体阻力及河势阻力的大小，故BSD与以上阻力单元存在必然联系。同时，金德生［26］研究认为，深泓纵剖面分维体现着深泓纵剖面的起伏程度，且由实测资料得出了深泓纵剖面分维与河道纵向消能的相关关系。由于BSD可对冲淤起伏的剧烈程度进行量化，因此可认为，BSD将有利于解决河道形态阻力计算的问题。

5 结 论

（1）由于不同类型河段床面形态不同，因此河床表面分形维数可在一定程度上体现河型、甚至河型亚类之间的差异。

（2）河床表面分形维数可从整体上描述河床表面形态冲淤起伏的剧烈程度，其与河段平面形态、横断面形态及深泓纵剖面形态之间是整体与部分的关系，相比河床表面分形维数，各二维剖面仅是从不同的侧面或局部来反映床面形态的变化。

（3）河床表面分形维数可随着河床的冲淤变化而改变，其值的加大表征着河床表面冲淤起伏剧烈程度的增加。

（4）作为河床表面形态冲淤起伏剧烈程度的定量工具，河床表面分形维数可用于河势量化分析、河型判别以及河道形态阻力计算等方面。

本文仅对河床形态冲淤调整的分形度量进行了初步探讨，河床表面分形维数在河流动力学领域还有很大的应用潜力，有必要通过建立更多河段的床面分维样本并进行相应的试验，来做相关的进一步研究。

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（编辑：周晓雁）

Fractal M easurement of River Bed Erosion and Deposition

river dynamics；bed surface fractal dimension；riverbed form；measurement

ZHOU Yin jun1，2，CHEN Li2，SUN Yu fei2，CHENGWei2
（1.Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China；2.State Key Laboratory ofWater Resources and Hydropower Engineering Science，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

Fractal theory is associated with river dynamics to study themethod of quantifying riverbed surface form and its physical significance.Typical bifurcate reaches with severe riverbed erosion and deposition in downstream Three Gorges Dam are taken as the example to analyze the BSD（bed surface fractal dimension）variation and its relation with the erosion deposition adjustment of the corresponding surface，longitudinal section，and cross section of each reach.BSD can be used to reflect the nonlinear feature of the bed form variation across time and space，which is different for different reaches on the one hand，and changes alongwith the riverbed erosion deposition ad justment on the other.It can also be used to describe the extent of the bed form adjustment as BSD value is posi tively correlated with the complexity of typical cross section bed form.As amethod of quantifying riverbed surface adjustment，BSD will be valuable for the quantitative analysis of river regime，the discrimination of river pattern，and the prediction of bed resistance tendency.

TV143

A

1001－5485（2011）08－0011－07

2010 10 09

国家自然科学基金重点项目（10932012）；长江科学院中央级公益性科研院所基本科研业务费资助项目（YWF09029）

周银军（1983 ）男，河南信阳人，工程师，博士，主要从事水力学及河流动力学研究工作，（电话）15872393775（电子信箱）zhouy injun1114＠126.com。