基于二维泥沙颗粒的相对隐蔽度初步研究

孟 震，杨文俊

基于二维泥沙颗粒的相对隐蔽度初步研究

孟 震，杨文俊

（长江科学院水利部江湖治理与防洪重点实验室，武汉 430010）

绝对隐蔽度和相对隐蔽度是泥沙颗粒隐蔽度研究中的2大派别。针对韩其为定义的二维泥沙颗粒相对隐蔽度，给出了统计意义上的宽级配非均匀沙颗粒相对隐蔽度的计算式，对该式的物理意义进行了讨论，并提出了基于泥沙相对隐蔽度的宽级配非均匀沙中“大颗粒”、“小颗粒”、“中等颗粒”的概念。

相对隐蔽度；均匀分布；均匀沙；非均匀沙

1 概 述

Einstein（1950）在研究非均匀沙推移质输沙率时，首先提出用隐蔽系数概念修正颗粒上举力；韩其为（1965）首次定义了二维相对暴露度，从理论上导出它对泥沙起动流速的作用，并做了相对暴露度对起动流速影响的试验；Paintal（1971）通过对计算床面、平均床面的分析，提出了绝对暴露度概念；刘兴年（1986）根据Paintal的绝对暴露度定义做了深入的研究，并且通过实验量测了暴露度的数值及其对泥沙起动流速的影响［1］。众所周知：泥沙起动的难易程度不仅取决于该泥沙颗粒所受水流作用力的大小，还取决于各种作用力臂的大小，而泥沙颗粒隐蔽长度和暴露长度是量化各力臂大小的重要参数，研究泥沙颗粒隐蔽度有一定的意义。目前，泥沙绝对隐蔽度和相对隐蔽度是泥沙隐蔽度研究中的2大派别，针对韩其为首创的二维相对隐蔽度，本文给出了均匀沙和非均匀沙二维相对隐蔽度在统计意义上的计算式，并对该式的物理意义做出一些讨论，最后提出了基于泥沙相对隐蔽度的宽级配非均匀沙中“大颗粒”、“小颗粒”、“中等颗粒”等概念。以下文中所述隐蔽度若无特殊说明均表示二维泥沙颗粒相对隐蔽度。

2 隐蔽度定义

为研究方便，众多研究者都把泥沙颗粒作为二维“圆饼”模型来研究颗粒隐蔽度［1］，即二维泥沙颗粒相对隐蔽度。如图1所示，泥沙颗粒隐蔽度为床面上所研究颗粒的最低点到与下游颗粒接触点之间沿床面的垂向距离（隐蔽长度）与所研究颗粒粒径的比值，记为η。另外暴露度为该颗粒最高点到与下游颗粒接触点之间沿床面的垂向距离（暴露长度）与所研究颗粒粒径的比值，记为ξ。

图1 泥沙颗粒暴露度、隐蔽度示意图Fig．1 Exposure and hidden degree of sediment particles

3 隐蔽度计算式

3．1 均匀沙隐蔽度

如图2（b）所示，通过初等数学论证河床表层散体均匀沙排列稳定时的颗粒隐蔽度η的计算式为

式中：AE为隐蔽长度；OE为半径；D为直径；θ为OB与OE的夹角。

如图2所示，对均匀沙而言，显然θ∈［30°，90°］，可以推得η的取值区间是由于受试验手段的限制，至今还不存在严格意义下的泥沙颗粒隐蔽度试验数据。统计意义上讲，可以假定均匀沙颗粒隐蔽度分布为“均匀分布”或“拟正态分布”，可取均匀沙颗粒隐蔽度的期望E（η）为0．283 5（η取值区间的平均值）。

图2 均匀沙隐蔽度的4种特征值Fig．2 Four characteristic values of uniform sediment hidden degree

3．2 宽级配非均匀沙隐蔽度

河床上宽级配非均匀沙颗粒的排列具有很强的随机性。理论上讲，较精确的计算泥沙颗粒隐蔽度应该按照方红卫的研究方法［2］，即研究每一种组合下的隐蔽度的期望。但是该方法计算量太大，甚至某些组合并不稳定，难以建立计算式。本文在方红卫研究的基础上，以几个约定为基础，对宽级配非均匀沙隐蔽度做一点研究。

研究泥沙颗粒隐蔽度的目的是为了更好地解决泥沙起动问题，在推导宽级配非均匀沙颗粒隐蔽度计算式之前，先做出4个约定：

（1）对于推移质泥沙颗粒来讲，河床上泥沙颗粒起动后，仍将“下落”（滚落、滑落、沉落）到河床的“低凹”处，等待下次起动。

（2）“下落”的泥沙颗粒在河床上的排列是动态的，具有很强的瞬时性（随机性）。该泥沙颗粒下落过程中要么被床面上准备起动的颗粒“支撑”，要么落到2个较大颗粒中间而被“卡住”。当其被“卡住”时，认为该颗粒处于“次表层”且不能起动。故研究颗粒隐蔽度时，该颗粒通常处于被“支撑”状态，也即泥沙起动的研究对象为河床上的“表层”泥沙。

（3）按前人研究思路，把泥沙颗粒概化成“圆饼”状。理论上讲，需要2个任意粒径的颗粒才能“支撑”一个颗粒。但是，如果3个颗粒粒径都不相同，我们不仅难以判断哪一个颗粒为隐蔽度所定义的“下游颗粒”，并且对于粒径为不同数量级（甚至上千倍）的3颗泥沙，更难于求出所研究颗粒隐蔽度的最大与最小值。如图3所示，按照经典研究理论［1］，对于图3（a）和图3（b）的模型来讲，研究颗粒的Di隐蔽度是有可行的；而对于图3（c）和图3（d）的模型来讲，颗粒Di的隐蔽度的最小值与最大值都大于0．5，这时研究的泥沙颗粒隐蔽度是没有意义的（处于“次表层”状态）。

图3 任意粒径颗粒组合模型下的泥沙隐蔽度Fig．3 Sediment hidden degree under combined modelof random diameter particles

为回避这个研究难题，我们可以分别研究每一种粒径颗粒对所研究颗粒作用后的隐蔽度，再求出每一种排列的概率，进而可以求出所有粒径颗粒对该颗粒影响下的隐蔽度期望。于是，特假定2个“支撑”颗粒的粒径相等。（其实这种做法是从大量散乱的数值中选取一系列具有代表性的单元，反过来用这些单元来近似量化整体。）

（4）根据上述约定，我们可以求出宽级配非均匀沙粒径为Di的颗粒（简记为颗粒Di，下同）因受颗粒Dj支撑时的隐蔽度ηi，j的最值（最大和最小值）。参照前人的处理，可假定该颗粒的隐蔽度在统计上符合连续的“均匀分布”或“拟正态分布”，认为在每一种组合下泥沙颗粒隐蔽度ηi，j的综合值为两最值的平均。

根据以上约定，下面研究宽级配非均匀沙任意级配粒径颗粒隐蔽度在统计意义上的计算式。根据文献［3］，可假定床面上各粒径级泥沙充分混合，不存在分选及集聚现象。取沙重为G的河床表层泥沙，设以沙重百分数P（D）表示的非均匀床沙的颗粒级配。将床沙按颗粒粒径从小到大分成n组（Di＜Di＋1），取第i组的沙重百分数为Pi（Di），则对于粒径级Di其沙重Gi＝GPi，当将沙粒作为球体考虑时，第i组沙的颗粒数Ni＝6GPi／πγsD3i。

计算宽级配非均匀沙粒径为Di颗粒的隐蔽度时，应分3种情况分别考虑：①大颗粒Di与小颗粒Dj组合；②同等粒径Di颗粒间的组合；③小颗粒Di与大颗粒Dj组合。

以组合①为例，根据约定（1）至（4），认为颗粒Di的隐蔽度为渐变的“均匀分布”或“拟正态分布”，由平均隐蔽度的最值ηi，jmin和ηi，jmax可以得到颗粒Dj对颗粒Di的综合隐蔽度ηi，j，其表达式为

证明如下：

其中，D为颗粒直径，R为颗粒的半径。按照约定（4）平均式（3）和式（4）即可得到式（2）。

图4 2种特例的颗粒组合Fig．4 Two special cases of particle combination

根据古典概型，可以得到组合（1）所发生的概率为

同理，可以得到组合②和组合③下的隐蔽度ηi，j和对应的概率Pi，j。值得注意的是：由约定（2）可知，当小颗粒的隐蔽度在＞0．5时，该颗粒处于“次表层”，此时小颗粒受到上游颗粒的一个压力，被大颗粒Dj“卡住”，认为此时颗粒不会起动。因研究泥沙颗粒隐蔽度是为解决泥沙颗粒起动，故即使对组合③，泥沙颗粒隐蔽度在统计上的取值也只能取＜

0．5（这一点仅有统计上的意义，也是前人公认的）。综合所述，可以得到表1。

表1 粒径Di为颗粒隐蔽度分布Table 1 Hidden degree distribution of Size Diparticles

易得

于是我们可以得到宽级配非均匀沙中颗粒Di隐蔽度的期望E（ηi），即

从上述表达式中可以发现：在宽级配非均匀沙中，粗颗粒的隐蔽度较同等粒径下的均匀沙为小；中等颗粒的隐蔽度较同等粒径下的均匀沙相近；细颗粒的隐蔽度较同等粒径下的均匀沙为大。也即，对表层泥沙来说：大颗粒促使较小颗粒的隐蔽度增大；小颗粒促使大颗粒的隐蔽度减小；中等颗粒同时受大小颗粒的影响，致使被“增大”与“减小”的效应相互抵消，从而导致中等颗粒的隐蔽度与同粒径的均匀沙的隐蔽度相当。

试验表明［1］：在宽级配非均匀沙条件下，“大颗粒”较之同粒径的均匀沙易于起动，“小颗粒”较之同粒径的均匀沙难于起动，“中等颗粒”与同粒径的均匀沙起动条件相当。事实上，人们对宽级配非均匀沙中“大颗粒”、“中等颗粒”、“小颗粒”泥沙的理解不统一，也不能有效地界定。参考韩其为对上述三种颗粒的定义［1］，笔者认为在宽级配非均匀沙中：①“大颗粒”为该粒径的泥沙颗粒隐蔽度较之同等粒径条件下的均匀沙隐蔽度为小的颗粒；②“中等颗粒”为该粒径的泥沙颗粒隐蔽度与同等粒径条件下的均匀沙隐蔽度相当的颗粒；③“小颗粒”为该粒径的泥沙颗粒隐蔽度较之同等粒径条件下的均匀沙隐蔽度为大的颗粒。

4 结论与展望

（1）参考韩其为观点，重新阐述了二维泥沙颗粒隐蔽度概念。并尝试探讨了均匀沙非均匀沙隐蔽度的计算表达式。由于人们还没有找到既精确又简便的计算公式，也没有准确的试验资料，文中给出的计算表达式只能作为一种定性的研究方法。

（2）结合宽级配非均匀沙的泥沙颗粒起动特点与本文推求的隐蔽度计算式所反映的物理意义，尝试定义“大颗粒”、“中等颗粒”和“细颗粒”的概念。

（3）目前研究多采用的是“圆饼”模型，而实际泥沙颗粒多可概化为球体，这就导致目前的概化模型与实际不吻合。事实上，若把水流概化为一元流，那么所研究泥沙颗粒的侧向不需要考虑受力，将泥沙颗粒概化为二维“圆饼”是可行的；但是，对于弯道环流来讲，水流流速在横向有一定的分量，此时所研究泥沙颗粒的侧向受力不容忽视，仍然坚持把泥沙颗粒概化为二维“圆饼”时，这就免不了有悖于研究隐蔽度时的稳定条件。从定性分析可得：若把泥沙颗粒概化为三维球体，“次表层”泥沙颗粒将会给表层泥沙“提供”一个更深的“凹槽”来稳定所支撑的泥沙颗粒，从而促使该泥沙颗粒的隐蔽度增大。但定量分析三维球体泥沙颗粒隐蔽度依然存在很大难题，尤其对于宽级配非均匀沙，需要人们作更为深入的探讨。

（4）本文不能回避一个事实：约定（3）虽然回避了一个研究困难，使得非均匀沙隐蔽度计算式的研究能够继续进行，但是这种排列的客观性与目前无法有效解决确实构成了一个矛盾。若把泥沙颗粒概化为三维球体，颗粒排列更为复杂，这个矛盾更难解决。约定（3）这一假定虽然与实际有一定偏离，但是在求期望值的过程中，这个偏离被作为概率的乘积因子给弱化了。有必要进一步指出：本文所给出的4个约定仅仅是理论上能够解决非均匀沙任意粒径颗粒隐蔽度的一种假设，解决途径不是唯一的，其它的假设与研究方法仍然需要探索。

（5）泥沙颗粒绝对隐蔽度（暴露度）与相对隐蔽度（暴露度）根本就不是同一个概念，二者在隐蔽度的分布规律上存在一定的差别，若极端地认为哪一个合理哪一个不合理是极不科学的。事实上，由于泥沙颗粒隐蔽度试验资料“稀少”，我们还不能对泥沙颗粒隐蔽度的精确分布做出定论。如颗粒隐蔽度是否符合“均匀分布”、“拟正态分布”等，仍需要大量试验的验证。

［1］ 韩其为，何明民．非均匀沙起动机理及起动流速［J］．长江科学院院报，1996，（3）：12－17．（HAN Qi-wei，HE Ming-min．Incipient Mechanism and Incipient Velocity of Non-uniform Sediment［J］．Journal of Yangtze River Sci-entific Research Institute，1996，（3）：12－17．（in Chi-nese））

［2］ 方红卫．不均匀沙组成及起动［J］．水利学报，1994，（4）：43－49．（FANG Hong-wei．Composition and Compe-tent Velocity of Non-uniform Bed Load［J］．Journal of Hy-draulic Engineering，1994，（4）：43－49．（in Chinese））

［3］ 许全喜，张小峰，谈广鸣．非均匀沙起动问题研究［J］．水动力学研究及进展，1999，（2）：136－141．（XU Quan-xi，ZHANG Xiao-feng，TAN Guang-ming．The Research of Non-uniform Sediment Graded Incipient Motion［J］．Journal of Hydrodynamics．1999，（2）：135－141．（in Chi-nese） ）

（编辑：周晓雁）

Prelim inary Research on 2-D Hidden Degree of Sediment Particles

MENG Zhen，YANGWen-jun
（Key Laboratory of Management of Rivers and Lakes＆Flood Control of Ministry ofWater Resources，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China）

There are two different schools to study the hidden degree of sediment particles：absolute hidden degree and relative hidden degree．The 2-D relative hidden degree of sediment particles defined by Han Qi-weiwas elabo-rated in this paper．The hidden degree formula ofwide grain size distribution of non-uniform sedimentwas deduced statistically．Relevant discussions on the physical significance of the formula were presented，and the concepts of“large grain”，“small grain”and“medium grain”associated with broadly graded non-uniform sedimentwere pro-posed aswell．

relative hidden degree；uniform distribution；uniform sediment，non-uniform sediment

1001－5485（2011）05－0001－04

TV141

A

2010-07-14

国家重点基础研究发展计划（973计划）资助课题（2007CB7141O6）；国家自然科学基金资助项目（51079008）

孟 震（1985-），男，河南商丘人，硕士研究生，从事水力学及河流动力学研究，（电话）13628676681（电子信箱）edison9981＠gmail．com。