基于参数样条插值的同坡曲面构造方法

李军成



基于参数样条插值的同坡曲面构造方法

李军成

（湖南人文科技学院数学系，湖南娄底 417000）

传统的同坡曲面构造方法都是在导线方程为已知的前提下进行的。然而在实际工程中，导线方程往往是很难得到的，只能通过测量得知导线通过一列数据点。针对这一问题，给出了一种实际工程中同坡曲面的构造方法，该法首先根据测量数据点，利用三次参数样条曲线插值方法构造出同坡曲面的导线方程，然后再从同坡曲面的形成原理入手建立其参数方程，最后通过实例表明该方法是可行有效的。

计算机应用；同坡曲面；参数样条曲线；插值；包络面

同坡曲面是水利、土建及其它工程设计中一种常见的特殊坡面，它在工程中有着非常重要的作用，因此建立同坡曲面的方程是非常有理论与实际意义的。文献[1]从同坡曲面的特性入手，提出了建立这类坡面数学模型的方法；文献[2]通过对递推圆弧样条曲线的研究，探讨了构造同坡曲面等高线的方法和相关问题；文献[3-4]则对同坡曲面的形成作了分析，给出了更为一般的同坡曲面的方程等。这些文献虽然都从某种角度讨论了同坡曲面的方程，但都是以同坡曲面的导线方程有准确表达式为前提。事实上，在实际工程中，同坡曲面的导线方程的准确表达式往往是很难得到的，而只能通过测量得到导线上的一组数据点，为解决这个问题，本文利用三次参数曲线的构造方法，首先构造出插值于这些数据点的导线参数方程，再从同坡曲面的形成原理入手建立同坡曲面的方程，以符合实际工程的需要。

1 同坡曲面的形成原理[5]

正圆锥的轴线始终垂直于水平面，锥面上所有素线对水平面的倾角都相等，当直母线沿着一条空间曲导线移动，母线对水平面的倾角始终保持不变时，所形成的曲面称为同坡曲面。

如图1所示，转弯斜坡道边是一条空间导线，过所作的同坡曲面可以看成是公切于一组正圆锥面的包络面，且这些正圆锥顶点都在导线上，素线与水平面的倾角都相等。显然，同坡曲面上的每条素线（也称为坡度线）都是这个曲面与圆锥面的切线，也为圆锥面上的母线。也就是说，同坡曲面上所有坡度线与水平面的倾角都相等。若用水平面截割同坡曲面和圆锥面，截得同坡曲面上的等高线（也称同坡曲线）和圆锥面上的等高线（水平圆）一定相切，且切点必在坡度线上。

图1 同坡曲面的形成原理

2 同坡曲面的构造

2.1 导线的参数方程

要建立同坡曲面的参数方程，首先必需知道导线的参数方程。实际工程中，导线的方程往往很难得到，只能通过测量得到导线上的一组数据点，其中,。此时可以通过参数样条插值方法构造出通过这些数据点的导线方程。

当所测数据点分布比较均匀时，可用Ferguson方法构造插值曲线，其表达式可写为

但当所测数据点分布不均时，用Ferguson方法构造的插值曲线会出现波动，此时可以应用累加弦长参数样条曲线方法构造插值曲线。

参数方程(2)可作为同坡曲面的导线方程。需要说明的是，在构造导线的参数方程时，也可采用B-样条方法构造插值曲线。若所测数据点分布均匀时，可用均匀B-样条插值；而当所测数据点分布不匀时，则可用非均匀B-样条插值。这里由于篇幅有限，不再赘述。

导线方程建立后，由同坡曲面的形成原理可知，要得到同坡曲面的方程，需首先建立一组正圆锥面的方程，再求出公于该组圆锥面的包络面即可。

2.2 正圆锥面的参数方程

（3）

（5）

2.3 同坡曲面的参数方程

由于同坡曲面可以看成是公切于一组正圆锥面的包络面，因此，中的每一个圆锥都有一条直母线在同坡曲面上，例如在上由，决定的直母线在上；在上有，决定的直母线在上，……，在上由，决定的直母线也在上。由此可知与之间必存在某种规律，不妨设。于是，的参数方程可写为

另一方面，根据包络面的定义可知，与沿接触线相切，于是它们在上有公共法向量，即沿上每点的法向量也为沿上每点的法向量。

，

于是有

上式计算整理得

（7）

3 应用实例

图2 插值于各数据点的导线

图3 导线为插值曲线时的同坡曲面

4 结 论

本文根据实际工程的需要，当同坡曲面的导线方程没有准确表达式时，首先利用三次参数样条插值方法构造出插值于各测量数据点的导线方程，然后再从同坡曲面的形成原理入手建立同坡曲面的方程。需要指出的是，当所的数据点分布比较均匀时，可用三次Ferguson曲线插值构造导线效果较好；但当所测数据点分布不均时，采用累加弦长三次参数样条插值曲线来构造导线会达到满意的效果。

[1] 陈永喜. 同坡曲面的数学模型及计算机辅助几何设计[J]. 工程图学学报, 1998,(1): 48-54.

[2] 屈振生. 圆弧样条曲线在道路工程图中的应用[J]. 辽宁工程技术大学学报(自然科学版), 2000, 19(6): 622-625.

[3] Hu jianguo, Chen yueping. Mathematical model of the identical slope surface [J]. Wuhan University Journal of Natural Sciences, 2002, 7(1): 54-58.

[4] 刘青科, 毛 君. 同坡曲面的方程及其在弯斜路面边坡设计和绘图中的应用[J]. 武汉大学学报(工学版), 2006, 39(4): 111-114.

[5] 方 庆, 徐约素, 等. 画法几何及水利工程制图(第2版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1978. 178-180.

[6] Ferguson J C. Multivariable curve interpolation [J]. Journal ACM, 1964, 11(2): 221-228.

[7] 朱心雄, 等. 自由曲线曲面造型技术[M]. 北京: 科学出版社, 2000. 44-145.

[8] 苏步青, 刘鼎元. 计算几何[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1981. 78-88.

[9] 复旦大学数学系《曲线与曲面》编写组. 曲线与曲面[M]. 北京: 科学出版社, 1977. 162-167.

A Method for Constructing Identical Slope Surface Based on Parametric Spline Interpolation

LI Jun-cheng

( Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi Hunan 417000, China )

The traditional method for constructing identical slope surface is under the premise that exact expression of lead curve is known. But in practical engineering, the exact expression of lead curve is hard to obtain, and only some measured data points of the lead curve are given. For solving that problem, a method of constructing the identical slope surface in engineering is presented in this paper. Firstly, cubic parametric spline interpolation curve is constructed according to the measured data points, which is regarded as the lead curve. Then, the parametric equation of identical slope gradient surface is constructed based on the forming principle of that surface. Lastly, an example is presented to show the method is feasible and effectual.

computer application; identical slope surface; parametric spline curve; interpolation; envelope surface

O 182；TP 391

A

1003-0158(2011)01-0026-05

2009-07-03

李军成（1982-），男，湖北汉川人，讲师，硕士，主要研究方向为计算机辅助几何设计。