一类多目标规划问题的混合型对偶*

赵 洁，陈 林，赵克全

（重庆师范大学数学学院，重庆 400047）

近年来，非光滑多目标优化已成为优化领域中的研究热点.此处利用Clarke的非光滑理论［1］，在非光滑B－预不变凸性条件下建立了一类非光滑多目标规划问题的混合对偶模型的弱对偶和强对偶定理.结果对文献［2－4］中部分结果进行了改进与推广.

1 预备知识

定义1［1］实值函数f:Rn→R称为在点u∈Rn局部Lipscitz，若存在K＞0使得对于所有x，y∈U（u）都有|f（x）－f（y）|≤K‖x－y‖.若Rn上的每一点都是局部Lipscitz，则函数f是局部Lipscitz.

考虑下面的多目标规划问题（MP）和混合对偶模型（MD）:

2 主要结论及其证明

证明 设不是（MP）的弱有效解，则存在∈D，有在上为B－预不变凸函数又因为）在上是B－预不变凸函数，hs（s∈S2）在上是B－预不变凹函数，有

下面考虑混合型对偶问题（MP），建立弱对偶和强对偶定理.

定理3（强对偶定理）为（MP）的弱有效解，（MD）满足K-T约束规格，存在使得）是（DMNOP）可行解，有（MP）和（MD）的目标函数值相等.进一步，若弱对偶条件成立，则）是（MD）的弱有效解.

［1］CLARKE F H.Optimization and Nonsmooth Analysis［M］.NewYork:John Wiely，1983

［2］李延忠，邹杰涛，王作全.B-凸函数下多目标规划的 Mond-Weir对偶和 Wolf对偶［J］.吉林大学学报:自然科学版，1999（1）:38-40

［3］赵克全.B-预不变凸函数在多目标规划中的对偶问题［J］.重庆师范大学学报:自然科学版，2008，25（2）:1-3

［4］赵克全，罗杰，唐莉萍.一类非光滑规划问题的 Mond Weir和Wolf对偶［J］.重庆师范大学学报:自然科学版，2010，27（1）:1-5