混合流体对流中扰动的成长

周倩，宁利中，张淑芸，李国栋

（西安理工大学水利水电学院，西安710048）

在一个封闭的表面温度恒定，下表面加热的空腔内，对底部流体加热使其膨胀，因为其上部温度相对下部温度较低，密度较小，下部流体在上升中接触温度较低的流体时能量消耗，密度变大，温度变低，继续加高底部温度，当某些底部流体的温度足够大，密度足够小时，能够上升到顶部，也不至于消耗全部能量，这样形成温度差，导致腔体内流体运动的流动现象即为Rayleigh-Benard对流现象[1-3]。

自1980年以来，混合流体在温度梯度作用下Soret效应的影响下，研究者发现了混合流体的Rayleigh-Benard对流出现了许多不同于纯流体对流运动的斑图形成过程和现象。当表征流体非线性特性的参数——分离比（separation ratio）鬃＞0时的混合流体，对流系统出现了类似于纯流体时的分叉情况，失稳后的对流斑图也是定常的[4]；而当鬃＜0时，对流系统超过某个临界值之后，对流系统会出现行进波对流斑图。因此，许多学者针对这些独特的现象开展了大量的研究工作。Rayleigh-Benard对流模型已经成为研究非平衡对流耗散系统的动力特性、时空结构（时间、空间上的变化）以及斑图（Pattern）形成的典型模型之一[5]。本文在分离比鬃=－0.4情况下，讨论了瑞利数对小扰动的传播特性的影响，并且分析了相应的对流斑图结构。

1 数学模型

1.1 流体力学基本方程组[6-11]

布辛涅克斯（Boussinesq）近似假设中，认为在由浮力诱导的流体运动中，当温度足够小时，仅考虑在浮力项中密度的变化。在混合流体中，如果所有的长度用空腔高度d,时间由d2/v，速度场由v/d,温度由，浓度由，压力由无因次化，其中k有量纲，琢为无量纲的量纲为1。则考虑了Soret效应的流体力学基本方程组可表示为：

式中，琢和茁分别为热引起的体积膨胀系数和浓度变化引起的体积膨胀系数。

其中，不论是液体还是气体，温度升高时密度都会减小，而始终琢跃0，所以琢的作用是单调的。研究发现当茁跃0时，系统会出现局部行进波、行进波以及定常流动状态；当茁约0时，系统会出现定常流动，这类似于纯流体的情况，由此可以看出茁的作用是不一样的。

如果扰动量定义为瞬时值与传导状态之差的话，

这里，u=（u,0,w）,将上述方程代入基本方程，则扰动方程为：

式中u，w分别为水平方向和垂直方向的流速。

1.2 边界条件和初始条件

为了求解控制方程，我们需要为u，兹，浊设定边界条件.在z=0，1处，我们强加一个无滑动的，不可穿透的壁面。由于浓度流浊在无滑动的壁面上是纯扩散的，那么

以避免浓度流透过壁面。无滑动壁面就被写作

温度在壁面上就是等温的，扰动后温度的边界条件就是

当z=0,1时，兹=0

因为混合流体被限制在一个矩形的腔体内，则在x=0，祝处的侧边界条件就是速度上没有滑动，隔热的，浓度流在壁面上是不可穿透的，即为：

数值模拟中假定波长为2倍腔体高度的平行滚动为初始流动，从峰值稍微偏离腔体中心的高斯分布的小扰动开始计算滚动微小振幅的包络线。

1.3 数值计算方法

这里采用MAC法数值求解偏微分方程。时间导数利用向前差分法，空间导数使用中心差分法；时间步长为△t=0.000 5，空间均匀网格的分辨率。这里。这里△t，△x，△z都用无量纲表示。由连续方程和动量方程推导出来的压力方程具有泊松方程的形式。压力方程使用ICCG（不完整的乔里斯基共轭梯度法）方法求解。

本次数值模拟取祝=30，鬃=原0.4，Pr=13.8，L=0.01。

2 数值模拟结果

2.1 小扰动的线性成长

图1为分离比鬃=原0.4时不同的瑞利数r下温度场线性变化阶段的成长情况。r=1.9时，温度场线性变化阶段需要的时间t=172.5；r=2.0时，t=125；r=2.1时，t=95；r=2.3时，t=42.5；r=2.4时，t=41；r=2.5时，t=40；r=2.6时，t=27.5。

由图1可以看出，r越小，线性变化阶段所需要的时间越长，r越大，线性变化阶段所需要的时间越短，最大振幅在这个阶段上兹max邑exp(酌mt)，最大振幅的成长率是r的函数。

图2为分离比鬃=原0.4的成长率酌m随r的变化情况，从图中可以看出，不同的瑞利数r保持着不同的成长率酌m。成长率酌m随着瑞利数r的增大而呈现增长的趋势。由此可见，成长率酌m可以拟合为：

图1 不同r时温度随时间的变化情况

图2 成长率酌m随相对瑞利数r的变化

2.2 过渡阶段的对流斑图结构

图3为r=1.9，t=100～300时经过小扰动线性成长以后的对流斑图结构，图中横轴为腔体的长度方向，纵轴为时间长度。从图中可以看出，小扰动在t=0～172.5一直是处于温度场线性变化阶段；从172.5开始，才开始出现非线性变化，行进波都是向下游传播，没有改变对流传播方向。刚开始出现非线性变化时，行进波以缓慢的速度向下游传播，在到达t=230左右时，行进波的传播速度开始加快，一直到稳定状态。而从x=12～18时，在t=220～260时，出现了3个缺陷，此后就一直处于稳定的行进波状态。

当r=2.0时过渡阶段的对流斑图结构如图4所示。从图中可以清楚地看出小扰动线性阶段后的过渡状态。当t=125时，温度场开始进入非线性变化阶段，扰动在x=13开始，速度迅速地分别向上游和下游传播，腔体内出现了有缺陷的对传波,行进波方向从缺陷向两边传播。这是从线性阶段向非线性转化的第2种过渡形式。

图3 r=1.9时温度场随时间变化

图4 r=2.0时温度场随时间变化

图5 r=2.1时温度场随时间变化。

当r=2.1时，出现了第3种过渡过程，如图5所示。从图中可以看到对流行进波的摆动过程。腔体内小扰动是从t=95开始进入非线性变化阶段，这时，行进波在x=11～14处开始有了缺陷，传播到t=200时，缺陷变小了，但一直存在着。缺陷左侧的行进波向下游传播，而缺陷右侧的行进波却向上游传播。行进波的传播方向始终没有发生改变。这类似文献[10]的观测结果。

3 结语

本文通过二维流体力学扰动方程的数值模拟，发现成长率酌m是随着瑞利数r的增大而增大的，可表示为酌m=0.039 8 r7.8061。小扰动从线性阶段向非线性的转化过程可分为3种类型。小扰动的成长是依赖于瑞利数r的。

[1]宁利中，原田义文，八幡英雄.二成分混合流体Rayleigh-Benard 对流[J].西安理工大学学报，2004，20（4）：356-360.

[2]ASSENHEIMER M，STEINBERG V.Transition Between Spiral and Target States in Rayleigh-Benard Convection[J].Nature，1994，367：345-347.

[3]NING Lizhong.Rayleigh-Benard Convection in a Binary Fluid Mixture with and Without Lateral Flow[M].Xi’an：Northwest A&F University Press，2006：1-11.

[4]CHANDRASEKHAR S.Hydrodynamics and Hydromagnetic Stability[M].Oxford University Press，1961：1-71.

[5]CROSS M C,HOHENBERG P C.Pattern Formation Outside of Equilibrium[J].Rev Mod Phys,1993,65（3）:851-1 112.

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[7]NING Lizhong.Traveling Wave Convection in Binary Fluid Mixtures[M].Tokyo:A Bell and Howell Company,1999.1-138

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[9]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Modulated Traveling Waves in Binary Fluid Convection in an Intermediate-Aspect-Ratio Rectangular [J].Prog Theor Phys,1997,97（6）:831-848.

[10]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Formation Process of the Traveling Wave State with a Defect in Binary Fluid Convection[J].Prog Theor Phys 1997,98（3）:551-566.

[11]NING Lizhong,HARADA Y,YAHATA H.Dynamics of Localized Traveling Wave in Binary Fluid Mixtures[J].J Hydrodyn 1998,B10（2）:29-39.