GM(1，1)模型改进技术在咸阳市地下水动态预测中的应用

郝健，刘俊民

(西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西杨凌712100)

咸阳市位于关中平原中部，渭河北岸，九嵕山之南，市区建在渭河北岸一二级阶地上。市区供水除北部黄土台塬宝鸡峡灌区有少量地表水引水灌溉以外，工业和城乡生活用水全部依赖地下水。随着经济社会的发展，人民生活质量的不断提高，对水的需求不断增大，造成地下水严重超采，导致在市区形成城区复合漏斗、西橡地下水降落漏斗、渭河南沣东地下水降落漏斗，造成大面积的水位下降。2003年咸阳市水利局对超采区范围进行了划定，划为城区地下水水超采区、西橡地下水超采区、沣东地下水超采区等3个超采区，总面积46.7 km2[1]。为了合理开发、综合利用、科学保护地下水，必须对地下水动态进行全面研究分析[2]，并根据预测结果，结合实际情况，制定相应的防治方案与保护措施。

1 灰色GM(1，1)模型简介

灰色预测模型(grey prediction model)简称GM模型，主要以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，通过对“部分”已知信息的生成、开发，实现对现实世界的正确描述[2]，已被广泛应用于农业、商业、工业、经济等诸多领域。GM(1，1)模型[3]是得到广泛应用的一种预测模型，是由一个只包含单变量的一阶微分方程构成的模型，其实质是对除第一点外的原始数据序列作指数曲线拟合[4]。

1.1 GM(1，1)模型的基本原理

1.1.1 模型的建立[5-7]若原始非负等时序列

对其进行一次累加，得到累加数列

式中:

建立预测模型白化微分方程:

式中:a——发展系数;u——灰色作用量。

利用最小二乘法解得a、u，用Laplace变换得到时间响应式，并将其离散性化得:

经累减，得到预测模型为

1.1.2 模型的检验 根据模型的计算值和以有数据的关系对预测模型进行检验[8]。记k时刻残差为

原始数据方差为

小误差概率为

C值越小越好，表明预测误差离散性性小，原始数据离散性性大。P值越大越好，表明误差小的概率越大，精度越高。将预测等级划分为4等，见表1。

表1 综合评定预测模型精度等级[9]

1.2 GM(1，1)*模型的建立

GM(1，1)模型预测具有要求原始数据少、不考虑分布规律、不考虑变化趋势、运算方便、易于检验等优点，因此得到了广泛应用，并取得了令人满意的效果，但是也具有一定的局限性。当原始数据变多，数据的离散性程度变大，模型预测的精度就会变差。

本文通过滑动平均法对离散性程度较大的原始序列进行改造，减弱异常值对原始序列的影响，使原始数据的变化变得缓慢，再利用改造后的序列建立灰色模型即GM(1，1)*模型，进行预测。

将原始非负等时序列改造为

式中

两端点计算

然后建立GM(1，1)模型进行预测，得到预测序列 y(1)={y(1)(1)，y(1)(2)，…，y(1)(n)}，再对预测结果进行精度检验，对符合预测精度要求的预测结果进行滑动平均的逆转化，计算方法如下:

若逆转化后的最终结果为

式中

两端点计算

利用线性规划求解上述公式，得最终结果

2 咸阳市地下水动态预测

咸阳市某观测井2001-2009年平均地下水埋深的实测资料见表2，可以看出2002-2004年地下水埋深的变化幅度较大，离散性程度比较高。为了检验GM(1，1)*模型的预测效果，本文利用实测资料，分别建立 GM(1，1)模型和 GM(1，1)*模型，对地下水动态进行预测研究。

表2 咸阳市地下水埋深监测资料

2.1 建立模型

选取2001-2007年的实测资料为原始数据，分别建立 GM(1，1)模型和 GM(1，1)*模型，进行地下水埋深的拟合，结果见表3。

表3 两种模型拟合效果对比表

由表3可知 a=0.0019，u=16.485，C=49.3%，P=85.7%，拟合的平均相对误差为1.034%，GM(1 ，1)模型 为:ˆx(0)(k+1)=-8673.095e(-0.0019k)+8688.925

而a*=0.0012，u*=16.4226，C*=30.9%，P*=1，拟合的平均相对误差为0.308%，GM(1，1)*模型为:ˆx(0)(k+1)=-14047.1955e(-0.0012k)+14063.1155

结合表1的后验差方法，传统GM(1，1)模型的预测精度为合格，而改进后的GM(1，1)*模型的预测精度为好，充分说明改进后的预测模型具有更好的预测效果，是切实可行的。

2.2 优越性检验

为了进一步验证GM(1，1)*模型的优越性，利用GM(1，1)模型和GM(1，1)*模型对 2008年和 2009年的地下水埋深进行预测，并与这两年的实测资料进行对比，结果见表4。GM(1，1)*模型的预测结果经逆转化后，得到2008年、2009年的地下水埋深为16.34 m和16.21 m，平均相对误差为0.526%，相对于GM(1，1)模型预测结果的平均相对误差0.776%，更加精确。

2.3 预测结果

结合表3和表4可知，当地下水埋深离散性程度较大时，改进后的GM(1，1)*模型与传统的相比，具有更高的预测精度和更强的可行性。采用GM(1，1)*模型对咸阳市2010-2012年的地下水埋深进行预测，分别为 16.27，16.21 ，16.20 m 。

表4 两种模型预测结果对比

3 结论

利用GM(1，1)模型改进技术对咸阳市地下水埋深进行预测，结果科学、合理，说明在地下水动态变化离散性程度较大地区，通过滑动平均法进行改进方法可行，与传统的GM(1，1)模型相比，既保持了传统模型计算简便的优点，又具有较高的预测精度。此外，GM(1，1)模型改进技术不仅适用于地下水动态预测，还可以在水质预测、需水量预测等方面进行应用。

通过对咸阳市地下水埋深的动态预测，可以看出地下水位有逐年回升的趋势，说明该区域地下水资源量正逐渐恢复。利用GM(1，1)模型改进技术对地下水动态变化进行预测，可以为区域地下水资源合理开发利用、地下水和地表水联合调度等提供依据。

[1] 齐保勤，史玲.咸阳市城区地下水超采问题及对策[J].地下水，2004，26(4):290-292.

[2] 于春霞，徐建新.优化GM(1，1)模型在地下水水位预测中的应用[J].安徽农业科学，2008，36(12):4810-4819.

[3] 邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉:华中工学院出版社，1987:96-108.

[4] 陈俊珍.GM(1，1)模型与曲线 Aeax拟合[J].系统工程理论与实践，1988，8(4):67-71.

[5] 李生潜.GM(1，1)模型在甘肃灌溉用水量建模中的应用[J].人民黄河 ，2007 ，29(7):46-48.

[6] 郝文辉，任改娟，贡长青.基于MAT LAB的灰色模型对秦皇岛市区地下水水位的预测[J].中国环境管理干部学院学报，2010，20(2):61-64.

[7] 白静，刘俊民.基于 GM(1，1)模型的兴平市地下水动态预测[J].人民黄河 ，2010，32(6):79-81.

[8] 刘俊民.灌区地下水年最高水位的灰色预测[J].地下水，1993(9):93-96.

[9] 孙志霞，孙英兰.GM(1，1)模型研究及其在水质预测中的应用[J].海洋通报 ，2009，28(4):116-120.