分部面积汇流法探讨

袁朝盛

(四川省水文水资源勘测局,成都,610015)

据观察,流域面积向河口倾斜,其地面地下高低不平、细沟纵横,把土层切割成许多小块,产生在地面的净雨总水量不断注入细沟,从分水岭开始,在地面以沟流分布向下流动。浅层地下流包括表层流进入地面细沟成为地面径流的一部份。片流很难发生,只在荒坡、人工地面,或每小时300mm以上降雨的地面观察到片流,并迅速进入细沟,成为沟流的一部分,如有片流,水深各点都不相等,与沟流类似。河道汇流是断面较大的沟流。片流、沟流、河道汇流的总水量都具有流速和过水断面面积两个基本条件,流量存在。

流量是每一秒钟(时段长)到达流域出口断面的总水量,是时段净雨总水量的几千几万分之一,这就决定了时段总水量的出流是个时间很长的过程。一般是近处的来水先到,汇流面积增加,来水增加,流量随之增加,形成涨水;远处的来水后到,汇流面积减小,来水减小,流量随之减小,形成退水。时段产流深先后发生,远离流域出口处的先前部分,易与离出口处近的后续部分,即前滞流部分汇合,成为全面积汇流,来水达到最大,形成洪峰。散布的净雨总水量,从降落点出发,沿各自的路径长度到达流域出口断面所需的时间,为汇流时间。一个时段的净雨总水量需要几个或几十个净雨时段长的时间才能全部流出(如图1.a所示),这个过程可以由公式计算。经研究,流量=总水量/汇流时间。用汇流面积曲线,解决汇流总水量、汇流时间为变数的问题。水量流动的路径长度/流速=汇流时间,汇流时间存在是个水力因素。流速×过水断面面积=流量,已知汇流时间、流速,都可以计算流量,方法简单、易解。本文对分部面积汇流的方法进行探讨。

1 分部面积汇流过程方程的建立

把汇流过程线的坐标原点移在洪峰处,洪峰流量的时间坐标τ==0,流量的时间坐标在-τ～τ区间内。水量在流域出口断面的出流时间,远离出口断面的分部面积定在净雨时段末,位于出口断面的分部面积定在净雨时段初。

1.1 分部面积洪峰流量方程

由图1.a,ABC为分部面积时段净雨总水量在流域出口断面形成的流量过程。洪峰流量的持续时间,为最大汇流面积水量的汇流持续时间。净雨时段初至瞬时洪峰流量之间的时距,为最大汇流面积水量的雨初汇流时间,用LM表示。净雨时段末至瞬时洪峰流量之间的时距,为最大汇流面积水量的雨末汇流时间,用Lp表示。净雨时段初至涨水段之间的时距,为汇流面积水量的初到汇流时间,用La表示。净雨时段初至退水段之间的时距,为相应汇流面积水量的终到汇流时间,用Lb表示。把汇流过程线ABC的洪峰流量分成n个等分,每一个等分为ΔQ,ΔQ=QM/n,过每一个等分点作底边AC的平行线,得n个曲边梯形的面积,梯形高为ΔQ,上底下底为Lb-La。

图1 分部面积净雨量在流域出口断面形成的流量过程线

表1 四川三流域单位时段净雨洪峰流量计算 L0≤LP

因为L=ABC/QM,所以式(1)中L是分部面积净雨总水量的平均汇流时间,它与LM的关系为L/LM=μ。令集水面积上的入流总水量平均分布R·A=W,散布的入流总水量经过一个汇流时间的路径长度,就是出口断面的总水量了,有相等的关系。由图1.a知LM=LO+Lp,则分部面积洪峰流量方程

式中,QM、R、A、μ、L O,L p分别为分部面积洪峰流量、时段净雨量、分部面积、持汇比系数、净雨历时、雨末汇流时间。计算实例见表1。表1中,华蓥μ=1.1,其余各站μ=1。

1.2 分部面积流量过程方程

公式(2)表达了总水量与出流量的关系,把过程总水量Wτ、汇流时间Lτ代入公式(2),就是过程流量了,即Qτ=Wτ/Lτ。但目前缺乏实测过程总水量和实测汇流时间,故用流量的关系及联解的方法求得。

对图1ABC的洪峰流量与涨、退水流量的经验关系理解演示如下:

(1)流域退水曲线的流量Q/Q0=e-β·t,令t=τ、Q0=QM、Q=Qτ,则Qτ/QM=e-β·τ

(2)河道汇流方程d W=K·d Q,与水量平衡方程d W=Q·dt联解,Q/Q0=e-β·t。令t=τ、Q=Qτ,Q0=QM,则Qτ/QM=e-β·τ。

(3)分部面积汇流方程d W=L·d Q,与水量平衡方程d W=Q·d t联解,L·d Q=Q·dt,d Q/Q=dt/L,则Q/Q0=e-t/L。令Q=Qτ、Qo=QM,t=τ,则Qτ/QM=e-β·τ

故涨、退水流量的方程式是:

分部面积流量过程方程为:

式中,Qτ、QM、Aτ、β、θ、τ分别为分部面积的过程流量、洪峰流量、汇流面积、涨退水系数,汇流系数,流量发生的时间,e=2.71828。R、A、μ、LO、Lp与前同。

Wτ=W·θ=R·Aτ,Wτ=f(τ),见图2,单位以10000m3计,这就是一个单位(10mm)时段平均净雨总水量的过程线。Qτ=f(Wτ)的关系线是直线(见图3),涨退水在同一线上,由总水量过程的增减决定流量过程的增减。

涨退水流量的起始时间定在洪峰流量处,θ的数学表达式为:

涨水θ=eβ·τ(τ取负值)

洪峰θ=e±β·τ(τ=0) (5)

退水θ=e-β·τ(τ取正值)

起涨点、退水终点的流量为零,故θ=0,θ=f(L,τ)。

瞬时汇流面积Aτ=θ·A (6)

同时到达流域出口断面的水量在分部面积上所占的面积随τ而变,故式(6)可表示为Aτ=f(τ),见图2。

涨退水系数由下列经验公式计算:

式中,LO、Lp与前同,m=τ/Lp,X为总量平衡系数,涨水段X=a·mb,a、b为系数;退水段X=d±g·m,一般取常数,也可以取变数,加号用于地面水,减号用于地下水丰富的流域,d、g为系数。

L=1/β=[(m十0.01)/(m十X)](LO十LP)它是同时到达流域出口断面水量的平均汇流时间,随涨退水面积而变(见表2)。

表2 和平分部面积汇流时间计算

式(4)是过程总水量与过程流量的数学表达式,对流量起作用的是总水量、汇流时间。示例如表3,和平12时Aτ=81.3,Qτ=0.278×10×81.3/16=14(m3/s)。汇流面积曲线,是参数曲线,为解决参数为变数而设,对流量的形成不起直接作用,包括a、b、c、d、g。

1.3 分部面积流量过程的计算步骤

由公式计算的流量过程必须与入流总量相等,并由下列两个方程来实现

表3 四川彭山站二区分部面积瞬时汇流面积曲线计算

A为涨水流量开始时间,C为退水流量终点时间,Δτ为时段长。

具体作法是:

(1)由式(8),取净雨R=10mm得∑Q;

(2)由式(4),令Aτ=A,计算出洪峰流量QM;

(3)假定a,b得X,代入式(7)得β,代入式(4)得涨水流量过程;再假定d或d、g得X,代入式(7)得β,代入式(4)得退水流量过程;在涨退水段每隔Δτ取一个值加起来用∑Q′表示,若∑Q′=∑Q,流量过程线即为所求,否则调整a、b、d、g重复上述步骤。若∑Q′≈∑Q,修改Qτ值(洪峰不修改),使∑Q′=∑Q。

(4)将上述过程线的洪峰流量遍除涨退水过程,得总量平衡后的θ值,将θ值乘面积A,得平衡后的Aτ值。计算实例如表3。表3中,(4)=(3)×42,(5)由(4)修改,(5)/42×A=(7),其余各分部面积算法与此相同;取二区各分部面积Lp值相同;故初始θ用(3)中各值。

(5)流量过程线用式(4)计算,将时段净雨量、1/汇流时间遍乘Aτ=f(τ)。

2 流域出口断面流量过程的计算

分部面积上,一个单位(10mm)时段平均净雨量能同时到达出口断面的部分,在分部面积上所占(出流)的面积与出口断面时间的关系曲线,称为分部面积汇流面积曲线。这个同时以s计,部分以m3/s计。

如果单位时段内的净雨深度不是一个单位,而是n个单位,同时到达出口断面的流量,在分部面积上所占的面积不变,这个平均净雨的流量,是一个单位净雨流量的n倍。如果降雨不是一个时段,是m个时段,那么,各时段同时到达出口断面的流量,互不干扰,等于各时段出流量之和,前者称为倍比原理,后者称为叠加原理。无论时段降雨量多大,降多少个时段,只要降落的分部面积不变,则分部面积的汇流面积曲线也不改变,这个原理称为不变的原理。但要随地点而变,在流域面积上为许多条分部面积汇流曲线,一个分部面积也可以根据降雨强度作2～3条汇流曲线,这个原理是不变原理基础上的可变原理,以解决净雨在流域面积上分布不均,离出口断面距离不等的问题。流域出口断面的流量过程由上述四个原理计算。

2.1 用分部面积汇流面积曲线算出分部面积在流域出口断面的流量过程,依据Lp大小,叠加即为时段净雨量形成的流量过程,各时段净雨形成的流量过程叠加即为一次降雨形成的流域流量过程。

全体分部面积产流为流域全面积汇流,部分分部面积产流为流域部分面积汇流。瞬时流量Qτ总是由部分面积上的时段部分净雨深形成。

这种计算方法以分部面积为边界线,在流域面积上是有地点、有次序的出流,能知道具体流量是哪些分部面积、哪些时段来水组成,也就知道了流域汇流面积。

2.2 用分部面积汇流面积曲线计算出分部面积在分部面积出口断面的流量过程,用河道演算的方法算至流域出口断面。

2.3 简化计算。小流域出口断面的流量过程可以以流域为单位(不分部)计算,其流域面积汇流方程为:

式中:Qτ,RO,AOτ,μ,LO,Lp分别为一个流域的流量、时段净雨量、汇流面积、持汇比系数、净雨历时、雨末汇流时间,AOτ=θ·AO。实例见表1。

LP可以分区使用,依据分区来水为主的LP值作出几条流域汇流曲线,作计算用。

分部面积汇流法,也是无流量资料的算法,它可以算出任何面积,在河段任何处的流量过程,流量资料只作验证,确定参数之用。

3 分部面积汇流参数的计算

分部面积流量过程线的参数由实测资料计算、验证。

3.1 洪水的选择

以单时段单峰洪水作为选择的对象。单时段单峰是指一个时段的净雨,时段长LO≤Lp/3的洪水,这样的洪水不多,可选多个时段,总历时不超过雨末汇流时间且各时段净雨分布比较均匀的单峰洪水,如Lp=18h有6h一时段的2、12、15、17、5等五个净雨,按本法作出流域汇流面积曲线,在实测流量过程线上割去2,5两个时段净雨的流量过程,剩下的主要部分作为计算之用。如表1所示。

3.2 最大汇流面积雨初汇流时间L M的确定

净雨历时已知,主要是定出雨末汇流时间。取主净雨时段末至洪峰流量之间的时距为Lpa值,绘制Lpa=f(RO)相关图,分区(或上中下游)定相关线,各区Lp值为分区分部面积Lp值,也可依据分区的Lp值内查出各分部面积Lp值。

R0为时段主净雨量,一般选主雨后无雨或少雨的洪水摘取Lpa值。

R0～Lp曲线,资料较多可以分区定线。Lp受支流来水干扰较大,但主要来水的时间还是比较稳定,以重心定线能反映主要来水的汇流时间,受平均汇流时间的控制,是平均汇流时间的一部分,误差显得并不重要。

3.3 持汇比系数μ值计算

(1)量图法。在流量过程上量取等流量的汇流时间,则总水量的平均汇流时间为:

计算实例如图4所示,L=377/17=22.2(h)。验证:流域面积AO=7634km2,实测Ra=45.2mm,QMa=4341m3/s,则L=Ra·Ao/Qa=22.1(h)

(2)峰量相关法。算出洪水总量W,摘取洪峰流量QMa,绘制W=f(QMa)相关图,相关线的坡度就是平均汇流时间,但要分区或分支流定线。具体实例如图5所示。图5为彭站三区来水为主的相关线。

3.4 净雨量的计算

净雨的数量和时空分布都很重要,10mm的误差就是一条汇流面积曲线的流量,净雨量的分布决定汇流时间的采用,各种分散性的产流计算方法都可以应用,以精度高为准,应用前要检查计算的径流过程总水量是否与实测过程总水量近似相等。

4 流域洪峰流量经验相关图

计算出的参数必须进行验证,验证的方法是:选几次单时段单峰、多时段单峰和多峰洪水、部分面积汇流和全面积汇流洪水,计算出流量过程线,与实测流量过程线比较,或把它点在图6b上,看是否在45°线两侧,若误差许可继续验证直到全部洪水。如单时段洪水合适,多时段洪水偏高,总历时短于实测径流过程线的历时,多属退水段偏大;单时段偏高,多属LM小了;涨水段偏小,是部分分部面积Lp大了。所取流域资料与分部面积之间的差异,也要通过验证、调试来解决。X是一个很灵活的参数,只要调整它,都能得到最优的流量过程。

图6 四川6个流域ROAO/μ(LO+LP),

4.1 单时段流域净雨洪峰流量相关图

指单峰洪水的实测洪峰流量QMa与参数组成的洪峰流量相关图,计算实例见表1。相关图如图6a,由与轴成45°角的相关线得汇流面积洪峰流量公式QM=RO·AO/μ(LO+Lp),此式与式(2)一致,点据位于相关线两侧,误差不大,故式(2)可用。

4.2 多时段流域净雨洪峰流量相关图

是指由多时段净雨洪峰流量过程迭加的次洪水洪峰流量QMb,与实测洪峰流量QMa建立的经验相关图。如图6.b所示,由与轴成45°角的直线得QMb≈QMa,故分部面积法可用。

5 讨论

5.1 理论根据与发展

分部面积汇流方程,表达了总水量与出流过程的关系。由雨力S、流域面积F、汇流时间L,推理公式W=S·F=L·QM。这是流域的最大汇流量公式,表达了流域总水量与流域最大出流量的关系。抵偿河长,稳定流W=L·Q,L为常数,Q=f(W)为线性公式。不稳定流L为变数,Q下=f(W)是非线性关系,这主要是水量在河段上的分布不均匀,若W一定,分布在上段Q上大,Q下小,以W为纵坐标的W～Q下关系线偏左;分布在下段时,Q下大,Q上小,W～Q下线偏右,呈多曲线。Q=f(Q上,Q下),W=K·Q,则为线性,其中K为汇流时间。设流域面积上的净雨总水量呈沟流分布,总平均长度为S,总平均流速为V,总平均过水断面面积为F,汇流时间L=S/V,总水量W=S·F=L·V·F=L·Q,这就是小流域(或分部面积)的河网汇流方程,其中L为河网平均汇流时间。

总水量=汇流时间×流量,就是汇流方程了,为数学物理方程,在流域、在河道、细沟,普遍成立,可广泛应用。与水量平衡方程式联解的指数方程在水文上也广泛应用,普遍成立。经验证与流速×过水断面面积=流量的计算值一致。

流域净雨流量过程QM=f(W)是非线性的,即同一个W由多个QM与之对应。设W一定,降雨在上游,LP大,QM小,在QM=f(W)关系线上偏左;降雨在下游LP小,QM大,在关系线上偏右。降雨时间长,LO大,QM小,在关系线上偏左;降雨的时间短,L0小,QM大,在关系线上偏右,是非线性关系。W=μ(L0+LP)QM,Wτ=μ(L0+LP)Qτ的关系中,L0、LP、L起作用,是线性关系,所以图3、图6是直线。式(2)和式(4)都考虑了非线性问题,如图5,W=38,L0+LP=17、23等;QM=38/17=6209m3/s,QM=38/23=4589m3/s,QM不同,过程也不同。

L0考虑了降雨强度的非线性问题,非线性问题在图6.a中没有显现,若有可作20mm、30mm、50mm净雨的汇流面积曲线,分别采用。

多时段流域平均净雨的流量过程,主雨(成峰)时段在最前,涨水段很短,μ＞1;主雨时段在最后,涨水段特长,μ＜1;流域的时段平均净雨流量过程,μ=1或接近于1。由图1,若总水量按等腰三角形ABC计算,涨水段算大了,退水段算小了,算大算小部分若相等μ=1。洪峰流量有持续时间,L总是约等于L M。如果把坐标原点移回到净雨时段初,计算结果一样。

5.2 流量公式的性质

5.2.1 洪峰流量公式的性质。在均匀降雨的条件下,由公式计算的洪峰流量增量越来越小,趋于一个常数,符合叠加的原理。历时增加一个时段,平均汇流时间可增加一个时段,洪峰流量的大小只随降雨总量而变。这个性质由表4所列。表4中集水面积为1000km2,Lp=9h,LO=3h,净雨、历时是累计值。若3时,QM=0.278×20×l000/12=464,是232的两倍,符合倍比的原理。

表4 均匀降雨洪峰流量计算

长历时的均匀净雨用单位线计算,洪峰流量为常数,用洪峰流量公式计算接近于常数,两数相差很小,公式可以应用。汇流曲线的净雨为一个时段上述之差则不存在了。平均汇流时间μ(LO+Lp),是概化梯形的中位线长,适用于洪峰流量持续时间较长,近于梯形的过程。它又是三角形的中位线长,适合洪峰流量持续时间较短,近于三角形的过程。

5.2.2 过程流量公式的性质。把式(4)改写成Qτ=A{[R/μ(Lo+Lp]θ},它表达了分部面积单位均匀净雨分若干时段达到出口断面的过程,这个过程就是单位线(见表3第5行)。因此,分部面积汇流曲线与单位线可以互相转换。Aτ,θ都是汇流曲线。Aτi/∑Aτi=Ui,θi/∑θi=Ui,得单位线Ui,示例见表5。

表5 分部面积汇流曲线Aτi(θi)与单位线Ui互相转换

分部面积汇流计算法与舍尔曼经验单位线一样,是线性、集总、时不变的汇流曲线,性质相同。如果Lp分级使用可以是时变曲线。

5.2.3 参数的性质。R,A是总量参数,LO,Lp,X,m是变形参数,作用见图7,X可取负值。

图7 LO、L P、X、m对流量过程线的作用

参数R、A、LO、Lp、μ、X都有唯一性,m有唯一的成分,Lp是优选值。分部汇流曲线是依据参数计算的,由于多数参数有唯一性,所以图6相关线单一,汇流曲线易得适用解。

5.3 通用性

本法可以用于地面水、地下水、地面地下水兼有的流域(如图8所示)。

洪峰流量方程适用于净雨在时程上分布比较均匀或依次增加的过程。分部汇流计算法与舍尔曼经验单位线的应用前提和应用中出现的问题一致,适用于小流域。改进的方面:(1)有了物理成因的数学表达式;(2)大流域分部以后是小流域,适用于大流域;(3)由图6.a不同流域的洪峰流量关系能在一条直线上,通用性能良好;(4)在流域时段平均净雨总水量相等的条件下,空间分布不同,固定的分部面积汇流曲线算得的流域流量过程线不同,是多曲线。所以分部汇流方程考虑了非线性问题,把它考虑在小流域上应用,是从净雨和汇流时间的均匀性角度考虑的,一个流域可以分无穷多个部,每个部可以很小。分部的方法从概念上讲是解决了非线性问题,也解决了净雨在流域上分布不均。从目前的资料出发,一个雨量站分一块还是比较适宜,经验证可用。精度要求高的流域多设雨量站,它关系到数量、位置、汇流时间。有条件的流域应把雨量站的位置移到细支流集水面积形心处;(5)可以在无流量资料的流域及资料短缺的山洪站点上应用。总之,单位线能用的流域它都能用,单位线不能用的流域它也能用。

图8 分部面积流量过程线(三种水源)

方法总是根据共性来研究的,共性大的适应性强,共性小的流域适应性差些。远离多支流汇合后很远的单干性河段,一般都有好的洪水过程,可以普遍适用。区间来水占60%以上的区间过程,一般自然,归正,区间深层基流连续。区间径流少于40%分割误差大,这时可以根据全部区间来水的过程,修改上下游来水关系以分割出连续的区间深层基流为准。

6 计算实例

6.1 华蓥站1984年7月23日洪水计算。系扇形小流域,用流域面积汇流方程式计算,汇流面积Aoτ列表6第7列。实测、预报的洪峰时间都在23日12时18分,时间流量均合格。时段净雨量采用分部面积超蓄产流法计算。

表6 华蓥站1984年7月23日流水量过程预报

6.2 实例二:彭山站1987年6月26日洪水计算,共21个分部面积。

(1)实测径流量的计算。割去上游来水以后区间过程完整,区间深层基流100m3/s,一律平割,用逐时流量过程线制作退水曲线分割前后洪水,计算实测径流量。本次实测径流量60.9mm,26日18时出现洪峰4930m3/s。

(2)分部面积净雨量。用分部面积超蓄产流法计算,总净雨58.3mm,5个时段,2～8时RO=32.5mm。

(3)雨末汇流时间的确定,由实测的Lpa值绘制Lpa=f(RO)相关图,净雨历时6～18h,定得一区Lp=13h、二区10h、三区11h、四区9h、彭山分部面积6h。

(4)峰量相关图(如图5)。定得μ=1。

(5)净雨时段长以观测为准,6h为一时段。

(6)汇流系数θ值计算。二区θ值的计算见表3。

(7)汇流面积Aτ=f(τ)的计算见表3。

图9 彭册站流量过程预报图

(8)部分径流量用式(4)计算。

(9)流量过程的计算。各分部面积的Lp相同,首先将各区分部面积同一时段的净雨形成的流量叠加,然后错开汇流时间叠加,各时段流量过程加起来为一次洪水过程。计算得到洪峰流量为4920m3/s,在19时出现。时间流量均合格。

7 结语

研究的分部面积汇流法,揭示了流量过程随汇流总水量、净雨历时、汇流时间、汇流面积变化的规律,完成了用数学方程计算预报流量过程的任务。分部面积汇流计算,属无流量资料的算法,可以在无资料或少资料的流域或山洪站点上应用,由一个数学公式计算汇流过程,十分简便。该方法本身属概念性的水文学方法,其方程的结构基本上反映了入流过程随汇流时间变形的规律。用河道各处的汇流时间,能算出沿程的流量过程,这就有了状态。入流总水量的变形是一个汇流时间的问题,入流量Q=R·A/Δτ,经过LM后Q=R·A/μ·LM,经过Ln后平均出流量Qτ=R·A/Ln并全部流出了出流断面。LM可以取变数。汇流时间是净雨历时、汇流面积、路径长度、流速、坡度、糙率、河道断面等水力参数共同作用的结果,参数很少,且都是水文的基本项目,不需要专门解决。需要专门综合的只有雨末汇流时间,但流量站、水位站、重点防洪段、城镇、码头、桥梁处都有,容易得到。能广泛用于预报(包括山洪)、水文计算、资料查补,防洪行政人员也能现场计算和预报。

表7 四川六流域成果验证

我国学者曾指出“一个具有坚实基础而又比较简明易用的流域概念性模型还没有研究好”;舍尔曼经验单位线成了流域汇流计算的“支柱”;推理公式经我国学者的改进还是一种“设计性质的方法”,还没有过程;“纳希单位线在我国小流域上试用大部分不甚符合”,因此本法的提出有一定的理论实用意义。

本文根据南京河海大学张泉生老师提出的指导意见经多次修改补充,并得到四川省水文水资源勘测局同事的支持,在此致以衷心的感谢!

〔1〕华东水利学院.水文预报.北京:中国工业出版,1862.

〔2〕赵仁俊.流域水文模拟.北京:中国水利电力出版社,1984. ■