基本数学活动经验研究述评

罗朝阳 张宏斌

(1. 昌吉学院数学系 新疆 昌吉 831100；2.喀什疏附县第二中学 新疆 喀什 844100)

2005年，我国基础教育数学课程改革反思研究提出的新术语“基本数学活动经验”体现了当前数学教育研究的新进展和新趋势，是对我国数学教育研究工作的进一步深化。同年，国家教育部组织数学与数学教育界有关专家开始进行《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)的修订工作。翌年，史宁中提出把数学教学中的“双基”，发展为“四基”，即在基础知识和基本技能的基础上再加基本思想和基本活动经验。2007年，张奠宙指出：“基本数学思想我们已经提倡多年，现已成为中国数学教育的特色之一。那么,什么是‘基本数学活动经验’呢？如何加以界定？这似乎还需要做一个基础性的研究。”[1]

1 基本数学活动经验的内涵

1.1 经验与学习经验

通常认为经验是源于感官知觉的观念和来源于反思的观念。杜威指出“教育就是经验的改造和改组，这种改造和改组既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力”。本文仅限于讨论学习经验，正如泰勒所指出的“学习经验是学习者与他对做出反应的环境中的外部条件之间的相互作用。学习经验的获得取决于学习者的学习行为，是生成的和情境的。教师的职责是为每个学生提供有意义的经验”。[2]

1.2 数学活动与数学活动经验

由于经验是在与环境的相互作用中产生的，因此数学经验主要来源于数学活动。而学生的数学活动主要是指学生在教师指导下开展的以实物、模型、数学语言、数学思想、方法和策略为操作工具，以完成特定的数学任务为目标，通过多种形式，涉及知、情、意、行全面参与的学习和应用数学的行为、思维和情感活动相互交织的活动集合体。[3]

目前对于数学活动经验的认识在我国数学教育界并未达成一致。我国基础教育数学课程标准中认为“数学活动经验是数学知识”。[4]曹才翰和蔡金法等指出“数学活动经验不同于数学知识，是个体的感受和体验”。顾泠沅和马复等认为“数学活动经验是一种认识，这种认识中必然伴随着个体的价值判断和情感成分”。[5]史宁中认为“数学活动经验是指学生亲自或间接经历了数学活动过程而获得的经验”。张奠宙等则指出 “数学活动经验是指学生在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。”[6]孔凡哲指出“数学活动经验是围绕数学课程的特定教学目标，学生经历与数学学科相关的各类基本活动之后，所留下的直接感受、体验和感悟。它是学生与数学课程的学习活动相互作用的结果。”[7]其它关于数学活动经验内涵的理解见文[2]、[3]和[11]。

1.3 基本数学活动经验

基本数学活动经验应是学生在特定的数学教学目标的指引下，在进行数学探究和发现活动整个过程中形成的，并经学生自我反思的对多数学生均能起到指导其思维和操作进程的最为核心的知识经验、操作经验(技能性经验)、情感体验、思考经验和应用意识等。它隶属于数学活动经验，是数学活动经验中最为基础、最为关键的部分，是其它数学活动经验的出发点和基础。其主要作用是有助于学生以数学的眼光发现问题、思考问题、形成猜想，同时发展学生的合情推理能力和应用创新意识。其中，应用意识应是基本数学活动经验的核心成分。也就是说基本数学活动经验的外延小于数学活动经验的外延，更多的是直观经验和准直观的经验或认为是初步的抽象经验。

2 基本数学活动经验的研究内容与分类

一般地，“基本活动经验包含体验性内容、模式方法性内容和策略性内容等成分。”[8]张奠宙等将数学活动经验概括为直接数学活动经验、间接数学活动经验、专门设计的数学活动经验和意境联结性数学活动经验。[9]另外，仲秀英指出“数学活动经验包括认识经验、选择经验、决策经验、判断经验、推广经验、交流经验、协调经验和问题解决经验等。”[10]王新民等认为“数学活动经验的最基本成分是演绎活动经验和归纳活动经验。”[11]

孔凡哲提出基本数学活动经验主要包括：基本的数学操作经验(即基本的代数、几何操作经验等)；基本的数学思维活动经验(包括代数归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，几何推理的经验等)；发现、提出、分析和解决数学问题的经验以及进行数学思考的经验等方面。[12]我们认为，应将义务教育阶段的基本数学活动经验概括为：基本数学情感体验(指对数学的好奇心和求知欲、在数学学习中获得的成功体验、对数学严谨性，数学结果的确定性的感受和对数学美的欣赏以及‘数学有用’的信念、应用数学知识的信心、科学态度和理性精神等的一种原初的价值判断和经验意识等)、由生活情境生成的数学经验(包括由日常生活情境和社会科学文化情境生成的数学经验等)、基本数学操作经验(应增加基本数学技术操作经验，其它成分同上)、基本数学思维活动经验(应增加对基本算理理解的经验，其它成分同上)和发现提出数学问题的经验等五个方面。因为，数学活动中必然伴随一定的情感体验，并以学生已掌握的日常生活中的常识性知识体验和认知情境作为新内容的认知依据。提出基本数学活动经验的主要目的是为了解决义务教育阶段数学课程三维目标中的过程性和情感性目标难以落实的问题。而思考的经验可纳入发现、提出数学问题的经验之中。分析和解决数学问题的经验则应视为一种综合性数学活动经验。

3 基本数学活动经验的特征

数学活动经验是个体为达成一定数学目标而主动学习的结果；它来源于日常生活经验，又高于日常生活经验，是人们的数学经验最贴近现实的部分；它是指对具体形象的事物进行具体操作和探究所获得的经验；它的习得需要经历数学化的过程并和探究性学习相联系。[13]黄翔等认为数学活动经验具有主体性、实践性、发展性、多样性等四个特征。[14]李长会等把数学活动经验概括为主体性、实践性、内隐性、多样性、指导性和过程性等特征。[15]武江红则提出数学活动经验具有主体性、实践性、社会性和迁移性。[16]

考虑到基本数学活动经验特定的课程目标指向和基础教育阶段数学课程的特点以及学生的年龄特征与认知水平。基本数学活动经验的主要特征应概括为：个体差异性(不同的学生所获得的基本活动经验和掌握、运用它们的水平程度也不同)、社会探究性(即学生参与数学活动要和不同个体，不同领域进行表述、交流和协商。该过程中充满了不断的探索、发现和精确化)、过程内隐性(基本数学活动经验是一种内隐的缄默性知识，学生必须经历数学活动的过程，才能通过体验、感知和反思获得之)和发展迁移性(即基本数学活动经验更多表现为原发的、直觉的、非严格理性的、可变的和随着学生认知水平，智力发展和数学活动经验的日益丰富而不断完善的。同时，学生已有的数学活动经验，在一定的情境下受到激励就易被激活，从而影响当下情境的数学活动)。

4 基本数学活动经验水平的界定

从活动的内容角度，数学活动可分为经验材料的数学组织化，数学材料的逻辑组织化和数学理论的应用三个层次。从数学学习的角度，数学活动可分为：水平数学化和垂直数学化两个层次。[17]学生对数学活动的感知水平与反思能力直接决定着其基本数学活动经验水平的高低。因此，我们可将基本数学活动经验水平概括为：原初经验水平、再生经验水平、再认经验水平、概括性经验水平和经验图式水平。[18]对基本数学活动经验水平的界定有助于我们把握学生获得数学活动经验的进程，并对其已经形成的基本数学活动经验进行评估分析，在实际教学中根据学生的具体情况采用相应的策略和方法，不断提高教学过程的有效性，使学生的数学活动经验水平逐步从较低层次向较高层次发展。

5 基本数学活动经验对数学课程教学的作用

学生获得的基本数学活动经验可以极大地促进其对基础知识、基本技能的理解与掌握。如数学思想是怎样产生的？数学结论是怎样被发现的？基本方法是怎样被运用的？基本原理是怎样被验证的？等等。基本数学活动经验既包含学生进行知识技能学习过程中思考的经验和体验，也包含学生对于知识技能的自我诠释。所以获得基本数学活动经验是实现新课程三维目标中“情感、态度、价值观”目标的必要前提。

数学思维活动经验中关于思考的活动经验往往可以诱发学生慎思明理、辩证地处理问题，进而形成严谨务实的思维习惯。[19]如通过归纳、演绎、类比、计算、建模、随机抽样、数据处理等获得的基本数学活动经验，从本质上讲是关于数学活动的缄默性知识，它储存于人的潜意识中，对数学直觉思维的产生有重要作用。特别是学生已有的关于归纳的基本数学活动经验对于发现真理有重要的启示作用。

基本数学活动经验的获得有助于学生在经历和体验问题解决的过程中进一步丰富和发展自己已有的数学活动经验，并掌握和领会进行数学活动的思想、策略和方法。对于其做数学和开展数学活动，建构新知识的心理意义和形成合理的数学认知结构都有至关重要的作用。基本数学活动经验中蕴含着的基本策略性成分(如一般化、特殊化、直观化、抽象概括、推广引申等)和基本方法模式性成分(如消元法、待定系数法、迭代法、计算的模式、推理的模式、处理随机现象的模式、统计的模式等)对于学生开展创新活动具有十分重要的奠基作用。基本数学活动经验的习得有助于学生形成应用意识和创新意识，树立进行数学探究活动的信心。也有助于培养学生的科学态度和理性精神，形成良好的情商。

6 落实基本数学活动经验的要点

6.1 通过数学活动形成良好的基本数学情感体验

对数学的强烈好奇心与求知欲；对数学过程与结果的经历、体验和感受；对数学美的欣赏；对学习数学知识的信心等基本的数学情感体验属于个体的非智力因素范畴，有需要不断完善使之趋于稳定心理特征的趋势。基本的数学情感体验和数学活动经验一样都属于缄默性知识，这种知识更多的是在活动中，通过教师的显化，学生经历、意会、体验和感悟而得。因此，只有个体充分参与和经历丰富的数学活动，才能积累足够的数学活动的原初体验和经验。而这种原初体验和经验必然伴随着学生的价值观和情感成分于其中，经不断进行个体感悟，由量变到质变，从而在获得相应的数学活动经验的同时形成良好的基本数学情感体验，并不自觉地将这些情感体验和认知体验一同迁移并运用于个体的后续学习与元认知。所以数学活动中应力求使学生保持一种旺盛的求知欲和愉悦的认知情感体验。

6.2 通过数学活动积累由生活情境生成的数学经验

在基础教育阶段，许多数学内容的认知学习都需要学生具备一定的关于生活情境或社会文化情境的个体体验。教学中要关注学生的与数学相关的生活常识性经验和社会文化情境经验，更要格外关注学生的通过直接联系日常生活经验所获得的和通过创设实际问题背景，构建数学模型所生成的那些源于生活情境的基本数学活动经验的形成和积累。如在人教版高中数学(必修一)《几类不同增长的函数模型》的教学时，可设计现实生活中诸如银行利息、人口增长、投资回报等教学情境，指导学生开展数学探究活动，积累相应的数学活动经验。[20]通过不同生活情境的创设和问题解决过程的经历以及探究活动的开展和方法策略的运用，学生才可从该数学活动中体会到直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长函数模型的实际意义。从而确保学生在与数学相关的该生活情境中积极主动地获取比较现实的基本数学活动经验。

6.3 通过数学活动强化学生的基本数学操作经验

基本数学操作经验包括基本的几何操作、代数操作、概率统计操作和数学技术操作经验等。基本的几何操作经验包括测量的经验、画图的经验、作图的经验、折纸的经验等。例如，学生通过“拼图”活动，可以获得有关图形的平移、旋转、轴对称等图形运动的活动经验。学生在“折纸”、“测量”、“作画图”等几何操作活动中可以理解几何概念的内涵和直观地验证几何结论的真伪等。例如，“用一张纸如何折出平行、垂直的一组线？”的活动，可以深化学生对“平行”和“垂直”这两个基本几何概念的理解和认识。[21]基本的代数操作经验包括对数的运算、式的变形、代数方程与代数不等式的求解和函数图像绘制的直接操作经验等等。基本的概率统计操作经验包括随机试验、数据的调查、搜集、整理和统计图表的绘制等实际操作经验。基本数学技术操作经验主要包括运用几何画板、Geogebra4.0、图形计算器等数学软件的基本功能开展相应数学探究活动从而形成的基本操作经验。这应该是信息时代以数学实验和探究活动为载体培养公民信息素养至关重要的组成部分。课程应设计大量丰富的，诸如测量、实验、调查、搜集数据等探究活动，使学生在活动中经历数学结论的发现、探究过程，发展学生的探究意识、应用意识和活动认知水平。

6.4 通过数学活动丰富学生的基本数学思维活动经验

基本的数学思维活动经验包括代数归纳、理解算理、几何推理、数据分析、统计推断的经验等。代数思维是义务教育数学课程数与代数内容的主要特点，其中代数归纳经验的习得是让学生亲历由具体数值计算到抽象符号表达的过程，获得相应的代数归纳经验。教学中应引导学生对许多代数公式、原理和法则通过特殊情况归纳发现规律，再通过一般性的推理，验证得出结论，在此过程中感悟获得代数归纳经验。在代数推导过程中对算理的理解经验可以有效提高学生掌握和运用相应的公式法则的熟练程度，因此教学中也是要十分关注的基本数学活动经验成分之一。基础教育数学课程中的推理主要包括以归纳、类比为主的合情推理和以逻辑推断为主的演绎推理。通常有不完全归纳推理、借助图形直观的操作活动和典型的演绎证明三种推理方式。通过这三种数学思维活动学生所获得的关于几何推理的直接活动经验，对于其掌握几何推理的技能、形成推理能力，具有十分重要的促进作用。另外，教学中只有使学生经历实验、猜测、收集、整理、描述和分析处理数据的全过程，他们才能在新的问题情境中，根据数据分析的结果做出合理的统计推断，才能真正掌握统计的有关内容，理解统计思想，形成统计观念。才能够体会到统计的思维方式和活动特点，积累统计活动的直接经验，进而促进学生数据分析意识的形成。[22]

6.5 通过数学活动培养学生发现和提出数学问题的经验

发现和提出数学问题的经验应该包括思考的经验、进行数学探究时对所采用的模式、策略和方法的直觉判断经验等等。思考的经验主要指在思维操作中开展活动而获得的经验。比如，归纳、类比等合情推理的经验、验证的经验等。数学探究是基于问题解决展开的建立在运用已有的一种或几种基本策略、基本模式和基本方法等经验基础上的数学活动。数学探究时对所采用的模式、策略和方法的直觉判断经验是在这样的活动中产生和积累的一种集成行为操作和思维操作为一体的问题解决的直接经验，而不是间接的、纯粹思维层面的活动。教学中应该以能使学生积极参与充分交流、能充分体现数学的本质、能提供良好学习环境和问题情境、能为学生获得更多的基本数学活动经验提供广阔的探索空间的数学活动为载体，培养学生发现和提出数学问题的经验。

7 亟待解决的问题

近年来，虽然关于基本数学活动经验方面的研究成果不断涌现。但迄今为止，在理论研究层面的相关成果多数是抽象的分析和概括；关于基本数学活动经验与教学实践的整合方面的研究成果也均是一些教学经验的肤浅总结；而关于学生基本数学活动经验在教和学中的具体操作策略与方法等问题的研究还相对较少。在课程实施层面，为了解决过程与方法目标在具体的数学教学中难以实际落实的窘境，势必将基本数学活动经验的习得作为数学课堂教学的具体目标之一。因此就要对如何判断学生是否真正获得所要求的基本数学活动经验？如何对学生基本数学活动经验的水平层次进行合理的评价？如何评判学生基本数学活动经验习得的外部表征和内部机制？等问题进行积极思考和深入研究。这些问题的解决无论从理论层面还是具体教学实践操作层面来讲都具有十分重要的价值。在教学实证研究层面，能否采用课堂观察，学生访谈，测试，问卷调查等方式判断出学生对基本数学活动经验的掌握情况，这些都有待于进行相应的实证研究。

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