浅论数学创造思维与直觉思维

　　【摘要】2l世纪是一个知识创新的世纪，新世纪正在召唤大批高素质创造型人才。人的创造力包括创造思维能力和创造个性，而创造思维是创造力的核心。作为创造思维的重要组成部分的直觉思维在创造思维中所起的作用，是其他思维形式所无法替代的。本文在介绍创造思维和直觉思维的同时，精心设计了培养两种思维的策略，强调了两种思维的重要性。由此本文指出加强数学创造思维和直觉思维的培养是创新教育的一项重要任务。
　　【关键词】创造思维 直觉思维 内涵 培养
　　
　　“现在的经济发展所需要的远不只是具有文化知识和俯首帖耳的劳动者”，“整个学校的教学思想和气氛必须改变，应使学校引进一种开发学生创新思维的进程”。这是《参考消息》曾经刊载的《亚洲经济危机对教育提出挑战》一文所提出的主要观点。“当今世界各国之间的竞争越来越表现为科学技术和人才的竞争。科技的发展，知识的创新越来越决定着一个国家，一个民族的发展进程，创新是不断进步的灵魂。如果不能创新，不去创新，一个民族就难以发展起来，难以屹立于世界民族之林”。目前，伴随着我国政治、经济体制改革的不断深入，不少在职职工下岗，大学毕业生找工作比较困难，就业竞争日趋激烈。在这样一个新的形势下，作为学校，承担着向社会输送大批素质较高的劳动者的重任。努力培养学生具有较强的创造思维，其现实意义和深远影响不言而喻。
　　一、数学创造思维的内涵及培养
　　所谓创造性思维，是指与众不同的思考，带有创见的思维．通过这一思维，不仅能揭露客观事物的本质、内在联系，而且在此基础上能产生出新颖、独特的东西。
　　更具体地说，是指在学习过程中，善于独立思索与分析，不因循守旧，能主动探索、积极创新的思维因素。比如独立地、创造性地掌握数学知识；对数学问题的系统阐述；对已知定理或公式的“重新发现”或“独立证明”；提出有一定价值的新见解，均可视为创造性思维成果。它具有以下几个特征：
　　（1）独创性——思维不受传统习惯和先例的禁锢，超出常规．在学习过程中对所学定义、定理、公式、法则、解题思路、解题策略等提出自己的观点、想法，提出科学的怀疑、合情合理的“挑剔”。
　　（2）联想性——面临某一种情境时，思维可立即向纵深方向发展；觉察某一现象后，思维立即设想它的反面。这实质上是一种由此及彼、由表及里、举一反三、融会贯通的思维的连贯性和发散性。
　　（3）求异性——思维标新立异，“异想天开”，出奇制胜．在学习过程中对一些知识领域中长期以来形成的思想、方法不信奉，特别是在解题上不满足于一种求解方法，谋求一题多解。
　　（4）灵活性——思维突破“定向”、“系统”、“规范”、“模式”的束缚。在学习过程中不拘泥于书本所学的、老师所教的，遇到问题灵活多变，活学活用活化。
　　（5）综合性——思维调节局部与整体、直接与间接、简易与复杂的关系，在诸多的信息中进行概括、整理，把抽象内容具体化，繁杂内容简单化，从中提炼出较系统的经验，以理解和熟练掌握所学定理、公式、法则及有关解题策略。
　　数学，“思维的体操”，理应成为创造性思维能力培养的最前沿学科，培养创造性思维能力是中学教学改革的一项重要任务。在数学学习中我们应当大胆怀疑，勇于创新，不盲从“老师说的话”和“书上写的”。那么，我们应如何培养创造性思维呢？
　　（一）善于观察，培养创造性思维的灵敏度
　　正如著名心理学家鲁宾斯指出的那样，“任何思维，不论它是多么抽象和多么理论的，都应从观察分析经验材料开始”。观察是智力的门户，是思维的前哨，是启动思维的按钮。观察得深刻与否，决定着创造性思维的形成。因此，要明白对一个问题，不要急于按想的套路求解，需要深刻观察，去伪存真，这不但为最终解决问题奠定基础，而且也可能有创见性地寻找到解决问题的契机。
　　例1：当1＜a＜b时，求证：ab-1＞ba-1。
　　分析：直接证明有困难，现将待证式两边取以10为底的对数，得：
　　＞
　　 观察两边结构，发现两边类似于直线斜率公式：令f(x)=lgx，C（1，0），A（a，lga），B（b，lgb）。因 f(x)=lgx为上凸函数，易知KＡＣ＞KＢＣ（如图1），于是有＞成立，问题解决。
　　（二）克服思维定势，提高迁移能力
　　创造思维的培养应表现为灵活地转变观察、分析问题的角度，善于从不同方向考虑同一类问题，从而发现解决特定问题的多种途径。在学习中应培养从多角度、多侧面思考问题的能力，把所学的知识有机地融合在一起进行思维迁移，形成开放性思维和创造性思维。
　　例2：把半径为2的4个球叠成两层放在桌面上，下层3个，上层1个，两两外切。求上层球最高点离桌面的高度。
　　分析：设上层小球球心为O1，下层分别为O2、O3、O4，则可构造成棱长为4的正四面体O1-O2O3O4。这样，问题就不难解决。
　　创造性思维离不开迁移，只有在迁移的指导下，才能更好地培养创造性思维。值得一提的是，迁移是影响创造性思维的一把双刃剑。数学学习中的正迁移和负迁移是对立的两个方面，它们都有各自产生的原因和存在的条件，学习中应掌握迁移规律，削弱和清除负迁移的影响，创造和增强正迁移的条件。我们要促成正迁移，防止负迁移，因此矫正负迁移的过程，也是创造思维形成的过程。
　　例3：求lgtan1°lgtan2°lgtan3°…lgtan89°的值。
　　分析：凭直觉我们可能从问题的结构中去寻找规律性，但这显然是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势的干扰表现为思维的呆板性，而细致地一分析就会克服这种思维弊端，形成有创见的思维模式。在这里，我们发现题中所显示的规律只是一种迷人的假象，并不能帮助解题，突破这种定式的干扰，最终发现题中所隐含的条件lgtan45°=0这个关键点，从而能迅速得出答案。
　　（三）练就质疑思维能力
　　质疑思维就是积极地保持和强化自己的好奇心和想象力，不迷信权威，不放过任何一个疑点，敢于提出异议与不同看法，尽可能多地向自己提出与研究对象有关的各种问题。要多思独思，不“人云亦云，书云亦云”。例如，在学习反正弦函数时，我们可以有以下疑点：
　　（1）对于我们过去所学的正弦函数y=sinx是否存在反函数？为什么？
　　（2）在（-∞，+∞）上，正弦函数y=sinx不存在反函数，那么我们应该怎样来研究所谓的反正弦函数呢？
　　（3）为了使正弦函数y=sinx满足y与x间成单值对应，这一区间如何寻找？怎样的区间是最佳区间？为什么？
　　学习反余弦函数y=arccosx时，在完成了上述同样的步骤后，我们可以还提出第4个问题：反余弦函数y=arccosx与反正弦函数y=arcsinx在定义时有什么区别？造成这些区别的主要原因是什么？学习中应怎样注意这些区别？
　　通过一系列的问题质疑，我们就可以对反余弦函数有创造性地理解与掌握。在数学学习中为练就与提高质疑能力，我们要特别重视解题，一方面可以通过错题错解，从中辨别命题的错误与推断的错误；另一方面，可以做选择题，进行是非判断。
　　（四）加强思维发散，提升创造能力
　　创造能力与发展思维有着直接联系，一位数学界名人指出：“一般数学上的新思想和新方法，往往来源于发散思维，所以按现行心理学家的见解，创造能力的大小应和发散思维能力成正比。详细说来，任何一位科学家的创造能力可以用如下公式来估计：创造能力=知识量×发散思维能力”。因此，发散思维在创造能力培养中占重要一席之地，是培养创造能力的一个重要环节。
　　
　　例4：鸡兔同笼问题：今有鸡、兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少？
　　分析：对于本题，著名数学家波利亚给出了如下解法：
　　假设出现下列奇特的现象，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔都只用后脚站起来，于是，这时脚的数目（原来的一半）减去头的数目，就是兔子的数目。大胆创意，绝妙的解法！
　　例5：已知复数z，z=1，求z-2i的最值。
　　解法1（代数法）：设z=x+y