速降函数S和缓增广义函数S′的性质和判别定理

杨 慧,王 光

速降函数S和缓增广义函数S′的性质和判别定理

杨 慧1,王 光2

(1.太原师范学院数学系,山西太原030012;2.山西大学数学科学学院,山西太原030006)

对速降函数S,缓增广义函数S′的性质作了系统的讨论与分析,并给出了缓增广义函数的一个判别定理.关键词:速降函数;缓增广义函数;Fourier变换

上世纪五十年代广义函数的出现为线性偏微分算子理论提供了一个极好的框架,使得近代微分方程理论有了突飞猛进的发展.在广义函数理论中起着重要作用的三个基本空间D,S和E及其相应的广义函数空间D′,S′和E′中,速降函数S和缓增广义函数S′具有特殊的性质和意义.例如Fourier变换建立了它们各自到自身的同构对应等,使之在广义函数理论中占有重要的地位.

本文讨论了S和S′上的一些性质及相关结论,并且给出了S′上的一个判别定理:

定理 线性泛函T∈S′(Rn)的充要条件为:存在非负整数k,m和Ck,m>0,使得

1 记号与定义

则称φ(x)为速降函数,其全体为速降函数空间,记为S(Rn).

易见,S(Rn)为线性空间,在S(Rn)上定义半范数

对x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,记|x|=(∑in=1|xi|2)12,对n重指标α=(α1,α2,…,αn),记|α|=α1+α2+… +αn.记基本空间D(Rn)=C∞0(Rn),E(Rn)=C∞(Rn),其相应的广义函数空间记为D′(Rn),E′(Rn).

定义1.1[1]如果定义在Rn上的函数φ(x)满足下列条件:

(1)φ(x)∈E(Rn);

(2)对于任意的n重指标α,β(这里均指非负整数重指标),皆有:

这一族半范数(pα,β)定义了S(Rn)上的局部凸拓扑,在此拓扑下S(Rn)成为一个Fréchet空间.

定义1.2[1]S(Rn)上的线性连续泛函全体称为缓增广义函数空间,记为S′(Rn).

定义1.3[2]设T∈S′(Rn),T的Fourier变换F[T]定义为:

同样可利用对偶性定义其Fourier逆变换F-1[T]为:

2 S(Rn)和S′(Rn)的性质与定理

首先我们给出S(Rn)的一些性质.

命题2.1[1,2]设φ∈E(Rn),则下列条件等价:

(1)φ∈S(Rn);

(3)对任意n重指标α,β∈N0n,有

(4)对任意n重指标α,β∈Nn0,函数xα∂βφ(x)在Rn上一致有界;

(5)对任意n重指标α,β∈Nn0,当|x|→∞时,∂βφ

命题2.2[3]D⊂S⊂E,且每一个空间在其后一个空间中稠密,前一个空间的拓扑比后一个强.

我们知道对于f∈E(Rn),F[f]不一定存在;对于f∈D(Rn),F[f]虽存在却不一定仍属于D(Rn),但对于f∈S(Rn),F[f]存在且仍属于S(Rn),且有

命题2.3[3]Fourier变换建立了S(Rn)到S(Rn)的同构对应.

引理2.4[1]S(Rn)在线性偏微分算子的作用下是封闭的.即:设,则对∀φ∈ S(Rn),有P(x,D)φ∈S(Rn).

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其次,S′(Rn)具有下面的一些性质:

引理2.5[3]E′(Rn)⊂S′(Rn)⊂D′(Rn).

引理2.6[1](1)对任给的1

(2)一切在无穷远处具有多项式增长性的连续函数f(x)=O(1)|x|N都定义一个S′(Rn)广义函数.

命题2.7[3]Fourier变换建立了S′(Rn)到S′(Rn)的同构对应.

引理2.8[4]设X为线性拓扑空间,那么X上非零线性泛函T连续的充要条件为:存在V∈N(0),使得|T(x)|<∞.其中N(0)表示0点的邻域集.

下面我们用两种不同的方法给出定理的证明.

证明 充分性:取一列{φn}⊂S(Rn),设φn(x)→0(S(Rn)),那么,对任意的→

所以〈T,φn〉→0,n→∞.故T为线性连续泛函.

必要性:方法一:反证之.假设不存在非负整数k,m和Ck,m>0使得(＊)式成立.那么取Ck,m=k=m= j,则存在相应的φj∈S(Rn)使得0(n→∞).由题设

成立.取

那么,对任意的k′,m′∈N0,当j≥max{k′,m′}时,即有

根据ψj的取法,ψj∈S(Rn).由S(Rn)的拓扑性质知ψj(x)→0(S(Rn)).而

故T不连续.这与T为S(Rn)上的线性连续泛函矛盾.

方法二:由于S(Rn)在半范数pα,β(φ)=|xα∂βφ(x)|下成为Fréchet空间,由引理2.8,存在S(Rn)中零点的一个领域V,V={φ∈S(Rn)|pα,β(φ)<ε},使得:

对S(Rn)中任意φ,若pα,β(φ)≠0,则有:

从而有:

若pα,β(φ)=0,则必有|〈T,φ〉|=0.若不然,假设≠0,由pα,β(φ)=0知φ∈V.又对任取的λ∈K,pα,β(λ φ)=|λ|pα,β(φ)=0.所以λ φ∈V.而当|λ|→∞时,

这与(＊＊)式矛盾!证毕.

由命题2.1可得.

推论2.9 线性泛函T∈S′(Rn)的充要条件为:存在非负整数k,m与Ck,m>0,使得

定理2.10 (1)S′(Rn)对求导运算封闭.即:若T∈S′(Rn),则对任给的γ∈Nn0,有∂γT∈S′(Rn).

(2)反之,对每个T∈S′(Rn),存在一个有界连续函数G(x),以及α∈Nn0,k∈N,使得

证明 (2)的证明参见文献[2].

(1)设T∈S′(Rn),由定理2.10知存在k,m∈N0及Ck,m>0,使得对任意φ∈S(Rn)有:

由定理2.10充分性,可知∂γT∈S′(Rn).

[1] HÖMANDER L.The Analysis of Linear Partial Differential Operators[M].Berlin:Springer-Verlag,1963.

[2] 巴罗斯-尼托.广义函数引论[M].上海:上海科学技术出版社,1981:73-102.

[3] 陈恕行.现代偏微分方程导论[M].北京:科学出版社,2005:1-38.

[4] 刘培德.拓扑线性空间基础[M].湖北:武汉大学出版社,2002:7-43.

Properties and a Criterion Theorem of Rapidly Decreasing Functions Sand Temperate DistributionsS′

YANG Hui1,WANG Guang2
(1.Department of Mathematics,Taiyuan Normal University,Taiyuan030012,China; 2.School of Mathematical Sciences,S hanxi University,Taiyuan030006,China)

The properties of rapidly decreasing functions and temperate distributions are discussed,and a criterion theorem is given to judge temperate distributions.

rapidly decreasing functions;temperate distributions;Fourier transform

O177.4

A

0253-2395(2010)03-0326-03

2009-03-24;

2009-05-30

山西省回国人员基金

杨 慧(1976-),女,山西祁县人,讲师,硕士,主要从事泛函分析研究.E-mail:yh3f@163.com