中职数学教学中“数学建模”思想的渗透

王炳炳

（宁波市鄞州区古林职业高级中学 浙江 宁波 315177）

中职数学教学中“数学建模”思想的渗透

王炳炳

（宁波市鄞州区古林职业高级中学 浙江 宁波 315177）

在中职数学教学新大纲实施的背景下，通过叙述数学建模的概念、步骤和意义，并结合实践阐述了中职数学建模教学的主要内容以及实施建模教学的各种模式,最后提出了几点可行性建议。

中职；数学教学；“数学建模”思想

2009年教育部新颁布的 《中等职业学校数学教学大纲》中明确提出要“使学生进一步学习并掌握生活中所必要的数学基础知识”，要求“能对工作和生活中的简单数学相关问题，做出分析并运用适当的数学方法予以解决，针对不同的问题，会选择合适的模型”。这就说明中职数学教学要突出学生所学的专业特色，贴近学生生活实际，体现“以应用为目的，必要必需为度”的原则。

随着科学技术的迅速发展，“数学建模”这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中。在数学新课改的形势下，为了使学生毕业后尽快地适应工作岗位，能够较好地解决各种实际问题，在中职数学教学中渗透“数学建模”思想，开展数学建模活动，对学生解决实际问题能力的提高发挥着重要的作用，也是数学教学改革推进素质教育的一个突破口。

数学建模教学的基本认识

数学建模概念的界定 英国数学家怀特海（A.N. Whiiehead，186~1947）曾说:“数学的本质特征就是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。”将人们在现实世界里所关心、研究或从事生产、管理的实际对象称为原型，模型是指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而成的原型替代物。模型不是原型原封不动的复制品，只是反映了原型中与某种目的相关的特征。一般地说，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定现象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学中的各种概念、公式、方程(组)、定理、法则、算法及理论体系等都是现实世界的数学模型。所谓数学建模，就是建模数学模型的全过程。

图1 数学建模的全过程图

数学建模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质、建模目的等有关。中职数学教学中，根据学生的认知规律，要使学生初步学会建立数学模型，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，可以将数学建模的一般过程分为现实对象的表述，数学模型求解，模型解释，模型验证四个步骤。这四个步骤实际上是完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如图1所示。在图1中，表述是指根据数学建模的目的和所具备的数据、图表、过程等各种信息，将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，并用数学语言将其准确地表述出来，属于归纳法。求解是指利用已有的数学知识，选择适当的数学方法和数学解题策略，求出数学模型的解答，属于演绎法。解释是指把用数学语言表述的解答 “翻译”转化到现实对象，给出分析、预报、决策或者控制等实际问题的结果。验证是指用现实对象的各种信息，检验所得到的实际问题的解答，以确认解答的正确性、精确度以及数学模型的准确性。图1直观地揭示了现实对象与数学模型之间的关系，即数学模型是将现实对象的信息加以归纳、抽象的产物。数学模型来源于现实、又超越现实，它用精确的数学语言揭示了现实问题的内在特性。数学模型经过求解，得到数学形式的解答，再经过一次转化回到现实问题，给出现实问题的决策、预报、分析等结果，最后这些结果还要经受实践的检验，完成 “实践——理论——实践”这样一个循环的过程。如果检验结果基本正确或者与实际情况的拟合度非常高，就可以用来指导实践，反之则应重复上述过程，重新建立模型或者修正模型。

数学建模的意义 爱因斯坦有句名言:“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉。”这句话可以作为在中职数学教学中开展数学建模活动的指导思想。对于中职数学教学而言，数学建模有着以下重要的意义：（1）中职阶段是学生学知识、强技能的黄金阶段，也是世界观和思维方式形成的关键时期，培养学生的创新精神与实践能力是中职教育的重要内容，数学建模在这方面有着得天独厚的优势。（2）有利于改革传统的教育模式，随着全国中等职业教育公共基础课新一轮的课程改革，数学教学要重视学生生活实际和社会实践，而数学建模是很好的载体和切入点。它有利于激发学生的兴趣，使学生在生动活泼的学习实践中增长智慧与才干，由被动接受知识转变为课堂的主体。（3）数学建模教学能较好地为专业课服务，增强学生的专业技能。由于数学模型来源于实际生产和生活，把数学知识与专业知识结合起来，合理补充和加强与专业课相关的应用性教学内容，可使学生学会以专业的角度看数学，从而形成良好的思维品质，造就新一代具有探索新知识、新方法的能力应用型人才。

数学建模教学的实施

中职学校数学建模教学的主要内容 随着教育部关于中职学校新数学教学大纲的颁布，教师根据新要求及学校开设专业课的主要内容，结合社会经济发展的要求，在数学教学中可从以下几类模型有目的地选择相关内容开展教学活动：（1）几何类模型：测量、绘图、计算。（2）经济计算类模型：终值、利息、分期付款，经济图表的识别、分析、绘制，折扣、利润、成本等问题。（3）数据处理类模型：预测、线性回归、曲线拟合等问题。（4）专业知识类模型：数学规划、劳动力利用、工期效益、合理施肥、最优化等问题。（5）概率统计模型：彩票与中奖、市场统计、评估预测、风险决策等问题。（6）边缘学科模型：来自理、化、生、地、编程等方面的问题。基于对中职数学教学内容中以上几类数学模型的归纳，结合新大纲三大模块的具体要求，可总结出在新课程下的中职学校数学建模实践课教学计划表，如表1所示。

表1 中职学校数学建模实践课教学计划表

数学建模教学模式的开展 在日常教学中要从多方位、多角度着手培养学生数学建模意识，注重学生的认知水平，对教学内容进行科学加工、处理和再创造，引导学生在“学中用，用中学”，体验数学建模的过程，提高解决实际问题的能力。

1.联系实际解答，有意识地渗透建模思想。

模型分析：如此纯数学问题，我们增加生活背景，用生活经验证明此不等式：将a克的白糖加水配成b克的糖水溶液（b＞ a＞0），其浓度为，若在此糖水中再加入m克的白糖（m＞0），待全部溶解后其浓度为，显然加糖后溶液浓度增大，即原不等式成立。

如此解答既活跃了课堂气氛，又引入了数学模型，这就是数学建模的逆向应用，将原来枯燥的数学式子生活化，激发学生学习数学的同时和学生的距离也拉近了。

2.联系生活中的数学问题，强化建模意识。

例2：小明准备购置一套新房，需要向银行贷款8万元，经咨询得知银行贷款月利为0.01且是复利，贷款期为25年。小明每月稳定可有950元的结余，如果他准备按月偿还贷款，是否具有偿还能力?

模型分析:从贷款增值看，25年即300个月增值到8（1＋0.01）300万元

从每月付款增值看，设每个月还款x万元。

第1个月末付款x万元，再过299个月到贷款付清时，则付款增值到x（1＋0.01）299万元;

第2个月末付款x万元，再过298个月到贷款付清时，则付款增值到x（1＋0.01）298万元;

……

第299个月末付款x万元，再过1个月到贷款付清时，则付款增值到x（1＋0.01）万元;

第300个月末付款x万元，由于全部付清，这一期付款没有利息，仍然为x万元。

寻求贷款增值与每年付款增值之间的关系:根据与银行的合同约定，300个月后，贷款及利息总和=还款及利息总和，则有

所以小明有能力购房。

现在购房分期付款的问题很普遍，在不少学生的家里还会碰到，对这类问题学生都很感兴趣，也觉得很有用。在学完数列的有关知识后，设计了此类问题。深入挖掘，发现可以建立如下的数学模型。

一般地，采用等额分期付款的方式贷款元，期将款全部付清，每期利率为，每期还款元，则有以下公式：

生活是数学问题的源泉之一，只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深学生对数学知识的理解和运用，会增强学生应用数学的信心，有助于学生获得必要的应用技能。

3.结合专业课中的数学问题，介绍建模方法。

线性规划初步是新大纲职业模块中的内容，而《营养学》是幼师专业的一门专业基础课，在该课程中常碰到维生素的摄入问题，即可设计如下的数学模型。

例3：某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A、C、D、E和最新发现的Z。甲种胶囊每粒含维生素A、C、D、E、Z分别为1mg、1mg、4mg、4mg、5mg，乙种胶囊每粒含维生素 A、C、D、E、Z分别为 3mg、2mg、1mg、3mg、2mg。如果此人每天摄入维生素A至多19mg，维生素C至多13mg，维生素D至多24mg，维生素E至少12mg，那么他每天应服用两种维生素胶囊各多少粒才能满足维生素的需求量，并能得到最大量的维生素Z?

模型分析：当实际问题的数量关系为等量关系，可设元将等量关系转化为方程（组），建立方程模型;当涉及的数量关系为不等量关系时，可将其转化为不等式（组），建立不等式模型，再通过解方程和不等式（组），求得问题的解。

结合学生专业课的数学背景，切实让学生感受数学的力量，可以激发兴趣，提高学生对数学重要性的认识，促进学生对专业课的学习。

4.设计实践活动，培养建模能力。

利用课外时间开展实践活动，把它作为建模教学中不可分割的部分。例如应用二次函数求最值时，可让学生做个试验，每2人一组，合作进行。

例4：现有40cm长细铁丝一根，请大家做一个长方形模型，量一量长和宽并计算模型的面积，比一比谁的长方形面积大?猜一猜何时长方形面积最大?证明为什么此时面积最大?操作可反复尝试，将测量结果填入表2。

模型分析:学生讨论激烈，发现长、宽愈接近，面积愈大，直至长=宽=10cm，面积100cm2为最大面积。

设长方形长为x cm，则宽为（20－x）cm，得面积y=（20－x），建立二次函数模型：

根据解析式配方得y=－（x－10）2＋100，0＜x＜20，

x越接近10y越大且x=10cm时，ymax=100cm2。

本题充分考虑了中职学生的已有知识水平和能力，起点低，但是能发动学生全员参与，强调合作学习的意识，让学生在实践过程中学习和讨论数学，从中引导学生探寻数学模型。

关于中职数学建模教学的几点建议

全国很多大城市都在全面推广数学建模教学活动，但多数在普高推广，而中职学校只有极少数的教师在教学过程中进行零散的探索，缺乏组织性和系统性，中职的数学建模教学是较为落后的。因此，在全国中等职业学校数学课程改革的背景下，提出如下建议：（1）培养学生的数学建模能力，首先要求教师本身具有数学建模能力，否则无法组织学生的数学建模活动。因此，应该对中职数学教师进行数学建模培训，帮助他们树立数学建模意识、掌握数学建模知识、方法和教学形式，使他们能够最大限度地利用学校资源开展数学建模活动。（2）定期举办“中等职业学校数学知识应用竞赛”，把数学建模与专业课联系起来，以促进数学建模教学的发展，更好地为专业课服务。（3）在各类教育教学刊物上开辟“数学建模栏目”，征集优秀的数学建模活动方案，为广大师生开展数学建模活动提供展示成果的空间，同时也为开展数学建模活动提供可行的范例。

表2 测量长方形模型面积数据统计表

向“问题”靠拢，朝“实际”贴近，让学生学习解决问题的方法，这是数学建模的宗旨。数学建模教学要引导学生主动参与，结合学生的生活经验，激发其学习的兴趣，增强建模意识，体验建模的过程，使学生学到有用的数学。

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G712

A

1672-5727（2010）06-0103-03

王炳炳(1984—)，男，浙江宁波人，宁波市鄞州区古林职业高级中学教师，中学二级教师，主要从事中等数学和数学建模研究。