OFDM系统中考虑信源编码特性的多播资源分配方案

许文俊，贺志强，牛凯，林家儒，吴伟陵

（北京邮电大学 信息与通信工程学院，北京100876）

1 引言

近年来，OFDM系统中的资源分配为无线通信领域的研究热点。目前大部分研究者的焦点主要集中在单播系统的资源分配[1～6]。通过充分利用不同用户信道增益的瞬时差异，单播OFDM系统能够获得明显的多用户分集增益，从而显著提高系统的和速率容量[1～5]。其中，和速率容量(the rate-sum ca-pacity 或者 the sum capacity)为多个用户容量性能的整体度量指标，一般定义为所有这些用户获得的容量的加权求和。典型情况下，每个用户的权值相等[2～4]。单播OFDM系统的资源分配可以归结为数学上的优化问题，一般分为2类：速率需求限制下的和功率最小化[1]以及总功率约束下的和速率容量最大化[2,3]。在单播系统中，除了考虑系统的总功率或总容量等系统指标，还应当考虑用户之间的公平性等用户指标，才能使得研究更有实际意义。所以，近来的 OFDM 单播系统资源分配被附加上了各种公平性约束条件[3,6]，以期在系统指标与用户指标之间获得良好的折中。

无线传播不同于有线传播最大的特点在于前者具有天然的开放性，非常适合多播/广播业务（单播和广播可视为多播的特例，因此以下只讨论多播情况）。对于多播业务，单OFDM子载波发送的相同内容能够同时为多个用户接收，即单子载波可以同时为不同用户使用，与单播业务有着本质的不同。如果将单播资源分配方案直接照搬到多播系统使用会导致系统资源的极大浪费。所以，OFDM系统中针对多播资源分配的方案研究越发受到重视[7～10]。文献[7]研究了对数比例公平目标下广播业务的资源分配；而文献[8]利用多播特性，合理安排移动台接收数据的时间，以实现移动台功率消耗最小化；文献[9]给出了其规定多播场景中的最优资源分配方案，并提出了一种次优方案降低算法的复杂度；文献[10]扩展了文献[9]的模型，以确保不同多播组最少子载波数目的方式考虑了多播组间的公平性。从以上文献可以得出结论：相对于单播系统，多播系统发掘了无线传播的天然优势，从很大程度上提高了系统的和速率容量。

在OFDM多播系统中，处于同一多播组的用户期望从基站获得相同的内容。所以，对于每个子载波，存在方案的基本做法为：按照最差用户的信道条件发送数据，保证同一多播组的所有用户都能正确解调数据。即子载波的容量受限于最差用户的信道增益，这种多播方式称为传统多播[7～10]。虽然它相对于单播已经很明显提高了系统容量[7～10]，但其对于无线传播的开放性优势并没有最充分地利用[11]。最新的进展为：采用多描述信源编码以后，由于不同描述之间可以联合解码，OFDM多播系统能够提供更好的容量性能[11,12]，本文称该多播方式为考虑信源编码特性的多播，简称信源编码多播。

为了后续更加清楚地阐述信源编码多播的系统模型，将多描述编码与传统信源编码比较如下：传统信源编码一般假定信道传输没有差错，所以编码的主要任务就是尽可能地压缩数据，减少数据之间的相关性。而多描述编码在设计信源编码的同时还要考虑信道的特性，将单一的信息源编码分割成一些同等重要的数据集合(称为描述)。每个描述都具有自身的一组编解码函数，可以独立编解码；且都包含一些别的描述所没有的信息，它们之间可以相互增强。因此，只要接收到一部分描述的信息，解码端就能够通过这些信息对信源进行一定质量的重建。重建的效果会随着接收到的描述数量的增多而得到改善，更多的关于多描述编码的介绍可以查阅文献[13]。

鉴于多描述信源编码的灵活性，文献[11,12]将其引入多载波系统，研究一种全新的多播资源分配模型。文献[11]研究了系统中只有一个多播组(即广播)情况下信源编码多播的性能，指出了信源编码多播相对于传统多播容量优势相当明显。但由于其研究的系统中只包含有一个多播组，不具备一般性，没有涉及多播组间的资源分配，很难与实际场景对应，不易直接应用于实际通信系统。文献[12]中，讨论了信源编码多播的性能，但其研究对象为一般化的多载波系统，并未给出与OFDM系统直接相关的子载波/功率分配方案。

本文结合信源编码多播 OFDM 系统的研究进展，提出了一种系统具有多个多播组的资源分配方案。该方案在兼顾多播组间公平性的同时，尽量提高系统的和速率容量。而且，因为方案考虑了多个多播组，研究场景更加一般化，可以直接应用到实际无线通信系统之中。

2 系统模型

本文研究OFDM下行多播系统，假设系统中总用户数目为K，总子载波数目为N，多播组数目为M，第m多播组的用户集合为Ωm，相应的用户数目为

图1 OFDM下行多播场景示意图

按照多播的定义，相同多播组中的用户从基站接收相同的节目内容。令

表示第m多播组中第k个用户在子载波n上的信道增益，相应的hk(m,n)表示信道系数。定义

表示在子载波n上第m多播组中信道增益比第k( m, n)个用户大的用户集合。定义

表示在子载波n上第m多播组中比第k (m,n)个用户信道增益大的用户数目。如果以第k (m,n)个用户的信道增益作为资源分配依据，则第m多播组在子载波n上获得的和速率容量为其中，0N为噪声功率谱密度，0B为单个子载波的带宽，np表示子载波n上的发射功率。式(5)暗含的意义为：如果用户l(m,n)的信道增益比用户k(m,n)小，则用户l(m,n)在子载波n上获得的容量为 0。该假设非常合理，因为用户l(m,n)低于信噪比门限不能正确解调数据，所以容量为0[11,12]。对于传统多播，第m多播组在子载波n上获得的和速率容量为[9, 10]

其中，k*(m, n)满足：

即传统多播方式选择多播组中最低信道增益作为数据传送的参考，保证组中所有用户都能正确解调数据，它是一种最保守的多播方式。因为处在相同多播组内用户的信道条件一般存在很大差异，传统的最低信道增益传送很难充分发挥无线多播的巨大优势。

对于信源编码多播传输，用户收到的不同描述之间可以联合解码，用户最终接收节目内容的质量(多媒体音频或视频等)与正确接收数据的总量直接相关，可以认为：用户最终的节目质量正比于获得的总和速率容量[11]。用户之间节目质量允许存在差别，所以资源分配不必要在每个子载波上保证组内所有用户都能正确接收。信道条件很差的用户最终能接收到的数据较少，收听到的节目质量则较差；反之，节目质量则较好。不能因为多播组内存在一个信道差的用户，使得整个多播组都只能收听最差质量的节目。这种用户间的质量差异多播非常符合实际，在互联网上已经得到广泛应用，也能充分发挥无线多播的优势[11]。

进一步，第m多播组的总和速率容量为

式中，δm,n=1或0分别表示子载波n是否被分配给多播组m使用。

根据上面的讨论，用户收听节目的质量正比于最终的和速率容量。所以，很自然地，本文以系统和速率容量最大化为优化目标。同时，不同多播组间相互竞争共有的无线资源，必须保证各自的公平性，本文考虑多播组间的比例公平[12]。系统模型的数学表达为

式(9)中， Ptotal表示基站的总发射功率。C1表示总功率约束； C2表示子载波功率分配的可行取值范围；C3表示子载波分配指示因子的可行取值范围； C4表示一个子载波只能分配给一个多播组。因为不同多播组需要接收不同的节目内容，多个多播组之间子载波共享需要其它信息处理技术的支持，而且会导致系统总和速率容量的降低[2]； C5表示子载波n上所选中用户编号的可行取值范围；C6表示多播组间比例公平约束，组内因为信道存在多样性，允许用户间节目质量差异。而且，与文献[9～12]相同，假设基站能够得到用户反馈的完美信道状态信息，资源分配信息可以通过专用信道传送给用户。

3 资源分配方案

3.1 问题分析

式(9)给出的优化问题为单播资源分配问题的扩展与延伸，明显比单播资源分配复杂。单播资源分配是组合优化问题，获得最优解需要付出沉重的计算代价。通常对于单播资源分配的处理方法是将资源分配划分2个阶段：子载波分配和功率分配，目的为减小资源分配的复杂度，在性能与复杂度之间取得良好折中[3,4]。优化问题(9)比单播情况更加复杂，所以本文方案也采用2阶段方法：子载波分配和功率分配。子载波分配通过对单播子载波分配算法修正得到，功率分配因为与单播场景相差很大，下面进行解析地推导。

假设子载波分配阶段已经完毕，即δm,n与k( m, n)已经确定，则优化问题(9)变为

优化问题(10)的优化变量为各子载波上分配的功率pn，优化目标为在保证多播组间比例公平的同时最大化系统的和速率容量。对于多播组内，允许用户之间接收节目的质量差异，其最优的功率分配可以采用拉格朗日乘子法推导。假设多播组m被分配的总功率为Pm，则令

对L求偏导数得到：

式(13)为多播最优功率分配应当满足的必要条件，在 Kk(m,i)= Kk(m,j)= 1时，退化为单播情况[2～4]。结合功率约束：

得到：

其中，注水水平mΔ为

在 Kk(m,i)= 1 时，式(15)及式(16)与单播情况吻合[2～4]，验证了推导的正确性。

至此，多播组m的最优和速率容量 Rm可以进一步表示为

其中，最后一步通过代入式(15)得到。考虑到功率注水水平Δm的可能取值范围并严格保证容量结果有意义，引入二值变量。如果pn＞ 0 ，则 ρpn=1；如果 pn= 0 ，则 ρpn=0。从式(17)可以看出：和速率容量Rm为Δm的严格单增函数，而且式(15)表明：功率分配pn与Δm直接相关。因此，对于优化问题(10)，可以先求解如下关于的非线性方程组：

得到Δ，然后根据式(15)获得在子载波分配给定前提下的最优功率分配方案pn。其中，[·]T表示矩阵的转置。下面分别介绍本文设计的多播子载波和功率分配方案。

3.2 子载波分配

在子载波分配阶段，目前文献基本均假设每子载波具备相等的功率分配p=Ptotal/N，以解除子载波与功率分配的耦合[2～4,9]。因为子载波分配属于离散颗粒度的资源分配，很难做到绝对公平，一般文献采取的方法为：在保证资源基本公平性的同时最大化系统的和速率容量[2～4,9]。本文延续存在的资源分配思想，根据信源编码多播的自身特点，结合文献[3]的单播资源分配算法，提出多播资源分配算法如下。

1) 初始化：设置 A={1 , 2,…,N}和 Rm=0,δm,n= 0 ,Pm= 0 ,m=1 ,2,… ,M。

2) 在A≠∅时，执行如下步骤：

① 找到m满足 Rm/r m ≤ Ri/ ri, 1≤i≤M；

② 对于找到的m，寻找 n, k满足 Ck(m,n)≥ Ci(m,j),j∈ A ,1≤ i≤ Km；

③ 对于上面找到的 m , n, k，设置 δm,n= 1 ,并记录对应的k值。令 A=A -{ n},Pm=Pm+ p ，更新 Rm。

对于以上算法，②中 Ck(m,n)表示子载波n上以多播组m中第k个用户信道增益作为资源分配依据，所得到的容量大小指示因子，其计算方法如下：

子步骤③中更新mR的方法为

子载波分配算法中，1)为算法的初始化；2)中子步骤①选择具有最小比例容量的多播组m，以保证基本的多播组间公平性；子步骤②替选中的多播组m再选择最好的子载波以及最优的多播用户数目，以最大化系统和速率容量；子步骤③将子步骤②的结果更新保存，以维持算法迭代的延续性。

该算法与单播资源分配[3]相比，首先子步骤①中 Rm的意义不同，本文 Rm表示多播组的和速率容量，对于单播其表示单个用户的和速率容量，所以保证不同级别的公平性；其次，子步骤②中，选择子载波的方法不同，单播资源分配只需要比较信道增益即可[3]，但本文需要计算容量指示因子 Ck(m,n)。

本文子载波分配算法中，1)的复杂度为O( MN )；2)中子步骤①的复杂度为 O (M )，子步骤②的复杂度为 O ( NKm)，子步骤③的复杂度为 O(1)。2)需要执行N次，所以算法总的复杂度为O( MN +N2)。其中，表示子步骤①选择的多 播组中用户数目的平均值。为了给出直观的估计，假设= K / M，则子载波分配算法的复杂度大致为O( MN +N2K/ M)。

3.3 功率分配

在子载波分配确定以后，由前面的推导知道：最优功率分配等价于求解式(18)和式(19)。基于文献[3, 14]，本文给出Newton-Raphson方法迭代求解，主要过程如下。

首先，计算 f=[f,f , … ,f ]T， f的具体定义12Mi参见式(18)和式(19) (不包括右边等于0部分)。

其次，计算偏导得：

令

然后，求解如下线性方程组：

因为J只在第1行、第1列及对角元素非零，所以得到：

其中，u= [u1,u2,…,uM]T为Δ的更新向量，Ji,j表示矩阵J的第i行第j列元素。

最后，如下更新Δ：

重新计算f和J，反复迭代直到Δ收敛。因此，采用 Newton-Raphson方法进行功率分配的算法流程如图2所示。

Δ是否收敛的判断标准为计算更新向量u的二范数，然后与设定的误差门限比较，满足要求则视为收敛。图2中，“Δ越界检测与恢复”判断Δ的各维分量Δ是否满足i如果超出上界或下界，说明迭代步长过大，需要分别重新恢复为上界或下界，以维持算法的收敛性。

图2 功率分配算法流程

功率分配算法使用 Newton-Raphson方法迭代求解式(18)和式(19)，所以在子载波分配给定的情况下属于最优功率分配。而且，从式(24)和式(27)知道，因为雅可比矩阵J大部分元素为0，所以每次迭代只需要线性复杂度O(M)。Newton- Raphson方法单次迭代更新Δ的每一维元素，收敛速度较快，要求的迭代次数较少。结合前面关于子载波分配算法复杂度的分析，本文资源分配方案(包括子载波分配算法及功率分配算法)整体复杂度较低，具有实用价值。

4 仿真结果

本文仿真条件为：频率选择性信道包含6条独立的瑞利多径，多径功率分布满足车载信道B[15]，并假设最大的时延扩展为5μs。仿真中，对于单个用户与基站之间的多径信道，根据6径的时延位置及功率分布产生6个独立的复高斯随机变量模拟多径信号[15]，并在没有多径信号的位置补零，然后做N点FFT，得到单个用户与基站之间的频率选择性信道衰落。一般地，不管用户是否属于同一多播组，均假设不同用户之间的信道衰落相互独立[9,10]，因此可以分别单独产生不同用户与基站之间的信道。进一步，假设系统总发射功率为1W。仿真结果经过1 000次信道实现平均获得，以确保稳定可靠的性能。

为了对所提的信源编码多播方案进行客观的评价，本文还仿真了文献[9,10]的方案以及比例公平传统多播方案。其中，比例公平传统多播方案由文献[9]的方案加上比例公平约束而得到，用来在相同比例公平约束条件下对比信源编码多播方案的容量性能。

图3展示了不同多播方案的多播组间公平性分布。仿真条件包括：用户数目K为32，多播组数M为8，即每组4个用户，速率容量比例满足r1= 4 ,r2= 2 ,ri= 1 ,3≤ i≤ M，子载波数目N为32，系统平均子信道信噪比为9dB。从图中可以看出：信源编码多播在子载波分配阶段只能获得比较粗糙的公平性，因为子载波对于资源的划分粒度相对较大；而功率分配采用Newton-Raphson方法，能够达到与理想容量比例相同的公平性。文献[9]没有考虑公平性因素，所以多播组间不能保证任何公平性；文献[10]引入了保证多播组最少子载波数目的公平性机制，但子载波数目与容量大小不能等同，而且功率分配阶段没有再考虑公平性指标，导致其只能保证粗糙的公平性。综合上面的分析：在公平性方面，本文功率分配算法已经获得最优的性能。结合前面的推导知道：本文功率分配算法在容量性能方面同样具有最优性(在子载波分配给定的前提下)。

图3 不同多播方案的多播组间公平性比较

图4显示了容量比例对于系统和速率容量的影响。仿真条件为：用户数目K为32，多播组数目M为 17，多播组内用户数目设置为 K1= 1 6,Ki=1,2≤i≤M，容量比例满足ri= 1 ,2≤i≤ M ，r1的不同取值如图 4，子载波数目N为 256。由图可以分析出：无论比例公平传统多播还是信源编码多播，均比单播有巨大的性能提升，多播发挥了无线传播的天然优势。对于同种多播方式，随 r1取值的增大，系统和速率容量逐步提高，并收敛到不考虑比例公平的情况。这主要因为第1多播组内用户数目最多(K1= 1 6)，其他组内只有1个用户，应当给予第1多播组更大的容量比例(例如：至少大于 K1才能明显发挥多播的优势)。增加 r1则放松对于多播性能的限制，所以它从另外一个方面说明了多播的好处。而且，在相同参数配置下，信源编码多播均相对于比例公平传统多播有非常明显的容量提高，证明其更加充分地利用了无线多播的有利条件。同时，本图的参数设定与文献[9]的图3一致，所得结果(空心圆圈虚线)也与文献[9]完全吻合，验证了本文仿真结果的正确性。

图4 容量比例对于不同多播方案和速率容量影响示意图

图5为不同多播方式和速率容量累积分布函数图。本图的仿真条件为：每多播组用户数目固定为4，多播组数目取值为 6、8、10，相应地用户数目取值为24、32、40，容量比例为 ri=1(1≤i≤M)，子载波数目为256，系统平均子信道信噪比为12dB。从图中可以看出：无论哪种多播方式，多播组数目的增加导致了系统和速率容量分布曲线的右移，即提高了系统的容量。该点与单播资源分配的多用户分集[3～5]原理相同，可以理解为多播组数目变大使系统得到了更多的“多播组分集”。同时，还可以看出：信源编码多播性能明显优于比例公平传统多播，与图4的结论一致。即使信源编码多播在 6M=的条件下仍然相对于比例公平传统多播 10M= 场景高出0.5 bit/s/Hz的容量。

图5 多播组数目对于不同多播方案和速率容量分布影响示意图

图6仿真了不同多播方案的系统和速率容量随用户数目的变化关系。仿真参数设置为：每多播组用户数目固定为6，多播组数目取值为2～10，相应地用户数目取值为 12～60，容量比例为ri=1,1≤i≤M，子载波数目为N=256。基于等比例，文献[10]方案中不同多播组最少子载波数目设定为 N / M的下取整，系统平均子信道信噪比为6dB及 9dB。从图中可以看出：文献[10]方案的容量性能次于文献[9]方案，因为其额外增加了基于最少子载波数目的公平性约束。而无论哪种信噪比设置，信源编码多播均获得了最高的系统和速率容量，而且比文献[9]方案有比较明显的容量提升，说明其能更充分地利用无线多播的有利条件。主要原因为：多描述编码增加了无线多播的灵活性，使得多播用户能够从有利于自己的信道接收到更多的数据，因此提高了系统的和速率容量。

图6 不同多播方案的系统和速率容量比较

5 结束语

本文基于已有文献的成果，研究OFDM系统中具有多个多播组场景下，兼顾多播组间比例公平的资源分配问题。通过修改已存在的单播子载波分配算法，提出了信源编码多播子载波分配算法；并根据理论推导，采用Newton-Raphson方法设计提出了多播功率分配算法。在子载波分配给定的前提下，该功率分配算法能够给出最优解。子载波分配算法和功率分配算法共同构成了本文的资源分配方案。仿真结果表明：本文的资源分配方案能够获得完美的多播组间公平性；并充分发掘了无线多播的天然优势，相对于传统多播方式可以明显提高系统和速率容量。同时，本文的资源分配方案具有较低的计算复杂度，适合实际通信系统的应用。

本文资源分配方案以信源编码为前提，所以与传统方案相比会增加信源处理的复杂度。如何在设计资源分配方案同时，将信源处理复杂度联合考虑为下一步要研究的内容。

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