美式期权定价的复合期权近似法

林汉燕

（桂林航天工业高等专科学校计算机系，广西桂林 541004）

美式期权定价的复合期权近似法

林汉燕

（桂林航天工业高等专科学校计算机系，广西桂林 541004）

在Black-Scholes模型下，应用复合期权近似法计算美式看跌期权的价格，并将所得结果与应用最小二乘蒙特卡洛模拟法计算所得结果进行准确性比较。

美式期权；复合期权近似法；鞅

1 引言

美式期权定价是金融衍生产品定价中最困难的问题之一。因为美式期权可以提前实施，所以持有美式期权比持有欧式期权有更多的获利机会。持有美式期权者能否获得更多的收益取决于他能否抓住有利的机会实施合约，但何时实施最佳是未知的，所以美式期权不可能得到解的显式表达式。因此研究美式期权定价的数值方法显得非常重要。[1]

目前，研究美式期权定价的方法大致可分为两类：数值近似法和解析近似法。数值近似法如有限差分法、有限元法、二叉树法、蒙特卡洛模拟法[2-4]等等；解析近似法如复合期权近似法、[5]Bermuda期权法、二次近似法[6]等，这些方法广泛应用于美式期权的定价中。由于美式期权在到期日之前的任意时刻都可以实施，所以如果将期权提前实施的时间限制在当前与到期日之间的几个指定时刻，那么，美式期权就类似于复合期权序列。当指定的实施时刻趋于无穷时，这个复合期权序列的价格就近似于美式期权的价格。

这就是复合期权近似法，这种方法由Geske和Johnson[5]提出。本文在Black-Scholes模型下，应用文献［5］的思想，用鞅法计算支付红利的方式看跌期权的价格，然后将所得的结果与应用最小二乘蒙特卡洛模拟法（LSM）计算所得的结果进行准确性比较。

2 基本模型

现假定金融市场存在两种资产供投资者自由选择，资产的交易时间和额度连续，市场不存在交易费用和税收，资产的交易可以买空卖空，存款和借款的利率相同，交易时间为［O，T］。

假设第一种资产为连续红利支付的风险资产（如股价），价格S(t)遵循几何布朗运动：

第二种资产为无风险证券（如债券或银行账户），价格A(t)满足

其中μ(t)为股价期望回报率，q(t)为红利率，r(t)为无风险利率，它们都是时间t的确定性函数，σ≠0表示股价瞬时波动率（常数）。(2.1)和(2.2)为Black-Scholes模型，且为无套利的完全市场模型。

3 复合期权近似法

所以

类似计算可得

4 数值结果

表1 美式看跌期权的近似值

从上表可以看出，应用复合期权近似法与应用最小二乘蒙特卡洛模拟（LSM）所得的结果非常接近。这说明复合期权近似法在美式期权定价的算法上是正确的，并且达到了一定精度。如要提高结果的精确度，需要在计算过程中选取合适的提前实施时刻。

[1]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]张铁.美式期权定价的数值方法[J].应用数学学报,2002（1）.

[3]彭丽华，王建华.美式期权定价的数值方法与敏感性分析[J].统计与决策，2006（4）.

[4]吴建祖，宣慧玉.美式期权定价的最小二乘蒙特卡洛模拟方法[J].统计与决策，2006（1）.

[5]Geske R.and Johnson H.The American put option valued analytically[J].Journal of Finance,1984(39).

[6]Macmillan L.W.Analytic approximation for the American put option[J].Advances in Futures and Options Reseach,1986(1).

Compound Option Approximation in Pricing American Option

Lin Hanyan
(Computer Science and Technology Department of Guilin College of Aerospace Technology,Guilin 541004，China)

In this paper,the author prices American Option in a bear market by Compound Option Approximation in the Black-Scholes Model and compares the numerical solution with that achieved by LSM.

American option;compound option approximation;martingale

0241

A

1673-8535（2010）06-0025-05

林汉燕（1973-），女，广西贵港人，桂林航天工业高等专科学校计算机系讲师,硕士，研究方向：金融工程。

（责任编辑：高坚）

2010-10-08

国家社科基金项目（05XZW005）的成果之一