用优化模型进行数据处理和灵敏度分析

张守平 吴波英

一、问题

一桶牛奶可以在甲车间用12h加工3kg ,或者在乙车间用8h加工4kg 。假定能全部售出,且每千克 获利24元,每千克 获利16元,现在加工厂每天能得到50桶牛奶,正式工人总劳动时间为480h,甲车间的设备每天至多能加工100kg ,乙车间的设备的加工能力足够大。请制定生产计划使获利最大,并讨论:

若用35元可以买1桶牛奶,是否作这项投资?若投资,每天最多买多少桶牛奶?

若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元?

若每千克 的获利增加到30元,是否应改变生产计划?

二、问题分析

该优化的目标是使每天的获利最大,要作的决策是生产计划,决策受牛奶供应、劳动时间、甲车间生产能力的限制。将决策变量、目标函数、和约束条件用数学符号及式子表示出来,就得到了这个问题的优化模型。

三、优化模型

1.决策变量

设每天用X1桶牛奶生产A1,用X2桶牛奶生产A2。

2.目标函数

设每天获利为Z(元),X1桶牛奶生产3X1(kg)A1,获利24×3X1,X2桶牛奶生产4X2(kg)A2,获利16×4X2故Z=72X1+64X2。

3.约束条件

(1)牛奶供应:X1+X2≤50(桶);

(2)劳动时间:12X1-8X2≤480(h);

(3)设备能力:3X1≤100;

(4)非负约束:X1,X2≥0。

4.优化模型

Max Z=72X1+64X2 (1)

S.t.X1+X2≤50(2)

12X1+8X2=480 (3)

3X1≤100(4)

X1,X2 ≥0 (5)

四、模型分析与假设

1.该实际问题的优化模型的性质

(1)比例性:决策变量对目标函数的贡献,与该决策变量的取值成正比;决策变量对约束条件右端项的贡献,与该决策变量的取值成正比。

(2)可加性:决策变量对目标函数的贡献,与其它决策变量的取值无关;决策变量对约束条件右端项的贡献,与其它决策变量的取值无关。

(3)连续性:决策变量的取值是连续的。

2.假设

(1)A1、A2奶制品单位获利是与各自产量无关的常数,每桶牛奶加工出 、 的数量和所需时间是与产量无关的常数;

(2)A1、A2每千克的获利是与相互间产量无关的常数,每桶牛奶加工出 、 的数量和所需的时间是与相互间产量无关的常数;

(3)加工A1、A2的牛奶可以是任意正实数。

五、模型求解

将约束条件(2)～(5)中的不等号改为等号,在X1～X2平面上作五条直线,即L1:X1+X2=50,L2:12X2+8X2=480,L3:3X1=100 L4:X1=0,L5:X2=0。这五条上的线段围成五边形OABCD(如图1),顶点的坐标为O(0,0),A(0,50),B(20,30),C(100/3,10),D(100/3,0)。

目标函数(1)中z取不同数值时,可以作一组平行直线,即等值线族,当其向右上方移动到过B点时,z达到最大值3360,B点的坐标(20,30)为最优解,即X1=20,X2=30。

六、灵敏度分析

1.利用LINDO/LINGO软件对该问题进行敏感性分析

在LINDO/LINGO模型窗口中输入模型:

max72x1+64x2

st

milk)x1+x2<50

time)12x1+8x2<480

shop)3x1<100

end

则在报告窗口(ReportsWindow)中输出如下结果:

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP 2

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

(1) 3360.000

VARIABLE VALUEREDUCEDCOST

X1 20.000000 0.000000

X2 30.000000 0.000000

ROWSLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

MILK)0.000000 48.000000

TIME)0.0000002.000000

SHOP) 40.0000000.000000

NO.ITERATION=2

RANGESINWHICHTHEBASISUNCHANGED

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENTALLOWABLE ALLOWABLE

COEFINCREASE DECREASE

X1 72.000000 24.0000008.000000

X2 64.0000008.000000 16.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROWCURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHSINCREASEDECREASE

MILK 50.000000 10.0000006.666667

TIME 480.00000053.00000080.000000

SHOP 100.000000INFINITY 40.000000

2.答案

(1)若用35元可以买1桶牛奶,应作这项投资;若投资,每天最多增加10桶牛奶。

(2)付给临时工人的工资低于劳动时间的影子价格才能增加利润,故工资最多是2元/h。

(3)若每千克A1的获利增加到30元,则X1的系数变为

30×3=90在允许范围内,所以不应改变生产计划,此时最优解为90×20+64×30=3720。

七、模型推广及应用

这是一个二维优化模型,可以推广到n维的情况。此外,它可以广泛地应用于企业生产计划的诸多方面。

(作者单位:张守平,湖北职业技术学院应用技术分院;

吴波英,湖北省孝感学院)