善待“错误” 妙用资源

汤卫红

苏教版课标本教材“分数除法”单元整理与练习中有这样一道习题：“苹果每千克5元，西瓜每千克3元，香蕉每千克2元，香梨每千克2.5元，葡萄每千克6元。小明、小华和小军分别用4元各买一种水果。小明所买的水果重4/5千克，是小华所买水果的2/5，是小军所买水果的3/5，他们各买了什么水果?”

教材的意图是先分别求出小华、小军所买水果的千克数，再求各人所买水果的单价。这样一来，求小华、小军买的是什么水果就是两步计算的分数除法问题了，对于此前基本上是与典型的一步计算分数除法问题打交道的学生来说的确不太适应，他们总期望一步解决问题。于是，不少学生出现了这样的做法：4÷4/5=5(元)……苹果；5×2/5=2(元)……香蕉；5×3/5=3(元)……西瓜。尽管我心里明白：限于学生目前的知识水平，还不能作出令人信服的解释，甚至本来就是“瞎猫碰了只死老鼠”，但我并没有简单否定这种做法，而是想让同学们撞击出思维的火花。很快，同学们分成两派争论起来。

赞成派：我们这样也算出了正确的结果，有什么不可以?!

反对派：有什么道理!我看是巧合。

赞成派：才不是呢!比如，小英买香梨，4元钱能买8/5千克，小明所买的水果重量是小英的1/2，用5×1/2同样能算出小英所买水果的单价。

反对派：答案是一样，可这道理又怎么解释?题中的2/5、3/5都说的是重量之间的关系，怎么可以直接用来求单价呢?

赞成派：小华和小军所买水果的单价应该分别是小明的2/5、3/5。

反对派：为什么?

赞成派：道理我也说不清楚，但感觉这种做法一定是对的!

我觉得该我“出手”了：同学们，我们似乎都感觉到这种方法的简洁与合理，却不知道如何作出解释。但可贵的是同学们有了这种刨根问底的精神，正如爱因斯坦所说“我没有什么特别的才能，不过喜欢刨根问底罢了”，有了这种精神，还怕学不好数学吗?咱们相约六年级下学期，那时，让我们再来研究今天的解法。

在学习了“正比例和反比例”后，我再次呈现上述解法请同学们思考其中的道理。同学们恍然大悟，纷纷作出解释。

谢天：小明和小华用同样多的钱所买水果重量的比是2:5，那单价之比就是它的反比5:2，也就是小华所买水果的单价是小明所买水果的2/5。所以，可以用5×2/5来算。

孙辰：总价一定时，单价和数量成反比例，小明所买水果的重量是小华所买水果的2/5，所以小华所买水果的单价是小明所买水果的2/5。

张瑶：我们还可以用比例解，设小华买的水果每千克x元，列出比例式x:5=2:5，x=5×2/5。这也说明了5×2/5是有道理的。

反思：

在“分数除法”单元二次集体备课时，不少老师都谈到在教学时否定了学生的这种做法，理由是学生并没有理解题意、弄清数量关系，而是“误打误撞”出一个客观上正确但主观上却无法解释的方法。但我觉得既然误入“真理”大门，为何不“将错就错”让学生尝试着自圆其说呢?作为教师是不是应该“高瞻远瞩”——为学生的自主探究打开一扇门，“前呼后应”——着眼学生认知结构的发展呢?

1.学生真的一点不理解吗?

调查表明：的确有一些学生并没有理清数量关系，“数据驱动”使其简单机械地“张冠李戴”。但不能否认，有相当一部分同学凭着已有数学经验直觉到方法可能正确，而且还能通过列举其他的情形对方法的合理性进行验证，而计算结果的一致性促进了包括意识到“错误”的学生在内的学习共同体的深入思考。事实上，随着乘法认知结构的发展，学生已经积累了相当丰富的关于“单价”与“数量”关系的具体经验，对其变化方向也有了一定的认识：总价一定时，单价越高数量就越少。学生正处于由“乘除法概念”向“比例概念”过渡阶段，单价与数量的变化关系由定性描述逐步向定量刻画过渡。所以，学生不用除法而用乘法求小华、小军所买水果的单价则显示出学生对单价与数量关系的良好直觉，因为他们隐约意识到：小华所买水果的单价是小明所买水果的2/5，只不过缺少“反比例”这一概念作为思维的工具表达自己的思想。

2.给学生创造怎样的机会?

尽管写出非“常规”方法的同学中不乏“不知者”，但“不知者无罪”。重要的是教师不能从主观上漠视“不知者”，而应当用长远的眼光由客观上的正确承认其方法的合理性，让“错误”成为宝贵的教学资源，生成一段精彩的对话。我真的很庆幸自己没有轻易否定学生的想法，否则就扼杀了学生对问题的直觉思维，丧失了一次很好的对问题深入思考和交流的机会。实践表明：虽然双方的争论似乎没有达成什么一致意见，但却促进了双方对解法的进一步思考。赞成派由最初的“歪打正着”开始冷静思考解法的普适性，反对派从开始的简单否定注意到解法的合理性并将问题聚焦于如何由重量的关系推演出单价之关系这一方法内核。这何尝不是学生对教师所给机会的“馈赠”呢?坦率地讲，我以前也曾经浪费不少这样的机会。看来，我们的课堂并不缺少深层次对话的内容与契机，而是我们漠视甚至亲手葬送了许多看似偏执、离奇甚至荒谬的珍贵思想方法。因此，保持一颗善待学生思想的心，秉持一种开放与接纳的态度，练就冷静思考、巧点妙拨的教学机智，我们的学生将会幸福地获得一次又一次展现自我的机会，难忘那充满生命活力的数学课堂。

3.深化认知结构何以可能?

保护学生的直觉思维和探究精神固然可贵，如何让学生由此迈向对认知结构的深层次建构是实现数学认识质的飞跃的关键。因此，教师必须具有统帅全局的战略眼光和把握知识结构的战术本领。从横向来看，加强知识间的内在联系可促进学生建构整合性较好的认知结构，其中可逆性(互补性和相互性)是思维训练的关键。从纵向来看，教师根据儿童各阶段的思维特点及认知结构的发展规律展开教学能促进学生认知结构的不断深化。上述案例中，教师正是前瞻性地看到了学生方法中的“反比例”认知雏形，才珍视并珍藏这一方法并用其弥久的芳香吸引着学生在数学学习的道路上持续探究，直至正式学习比例知识。教师按照约定再现之前的方法就像打开窖藏的陈酿，怎能不散发出诱人的浓香?期待已久的学生用探究的热情引爆智慧的火花，通过关系运算(比例)形成新的数学表征，作出合理的解释。分数—分率—比例在学生形式化的思维中顺利过渡，串成了“珍珠”，抽象成了可以自由转换的概念系统，认知结构产生了质的飞跃，原有的认知结构被整合在具有包容性和开放性的新认识结构中。

(责编钟园娴)