将数学建模思想融入线性代数课程教学

段　勇　黄廷祝

摘要：本文探讨了如何在线性代数教学中融入数学建模思想，从线性代数课程的主要性质以及工科学生学习它的目的、研究型教学需要等方面探讨数学建模思想融入教学，进而分析如何在教学中融入数学建模思想以及这种教学对教师的要求。

关键词：数学建模思想；研究型教学；线性代数；教学改革

作为国家工科数学教学基地，电子科技大学应用数学学院展开了一系列教学研讨。作为国家精品课程，如何进行“线性代数与空间解析几何”这门课程的教学改革，特别是从培养创新型人才的战略角度将数学建模的思想融入该课程的教学当中，将应用数学学院的另一门国家精品课程“数学建模”的精华和“线性代数与空间解析几何”充分结合，并立足于电子科技大学的办学特色，以培养电子技术创新人才。

一、课程的重要性

“线性代数与空间解析几何”是工科学生高等数学学习的主干课程之一(微积分、概率论与数理统计为其他二门)。这门课程以矩阵、线性空间结构及线性变换为基本研究对象，和微积分的显著区别是：抽象以及和高中的数学截然不同，不像微积分同中学数学还有一定的关联。课程的核心，正如通常的矩阵概念引入一样，是研究线性代数方程组解的情况以及如何更快地求解线性代数方程组(特征值或矩阵的谱相关)、线性空间结构及线性变换。这样一门抽象的课程对工科大学生的培养有何帮助呢?

1培养一种抽象思维方式。抽象思维的能力不管它是不是与生俱有的，但很确定的一点是，它是可以被训练的，方法之一就是通过线性代数等相关数学课程的学习来培养。这门课程会告诉你n维空间，甚至一般的仿射空间，这些都超出了现实的直观几何范畴，实际上，要利用现在发达的计算机技术处理实际问题，就必须将问题抽象化，经过计算机处理后再回到现实问题的处理上，这一点对工科类学生尤为重要。

2现代工程问题的处理很大程度上在最后都归结为(大规模)线性代数方程组的求解，比如，雷达散射截面，复合材料的开发，大规模集成电路设计，信号处理，优化设计等莫不需要求解线性代数方程组。以雷达散射截面的计算为例，不管是用有限差分，有限元或矩量法计算表面电流分布进而计算雷达散射截面，都需要对连续问题离散，并求解一个线性代数方程组。

当然，由于学习时间和知识积累的限制，本科阶段“线性代数与空间解析几何”的内容也只能局限于基本知识的讲授，对于以后继续从事科学研究的学生而言，这门课程可以为以后的进一步学习(比如“矩阵理论”、“数值分析”等的学习)和研究需要(如何提高计算效率)奠定基础；而对于直接工作的学生而言，养成抽象、聚类及结构的思维方式对工作也是大有裨益的。由此可见，这门课程的主要作用是培养学生的思维方式，并作为后继专业课程的坚实基础。

由于学生普遍觉得这门课程抽象且和以前的数学知识没有联系，从而学起来比较困难。根据教学实践与经验，我们认为学生对诸如向量空间、特征值、线性变换、谱等抽象的代数内容的学习普遍感到困难，而对于其在所学工程专业的应用就更加不知。如何激励学生学习线性代数，并能创造性地应用于工程问题是一个亟待研究和解决的重要问题。我们认为将数学建模思想融入“线性代数与空间解析几何”的教学是一个值得倡导的可取方法。

二、数学建模思想融入教学

数学建模是对实际问题进行分析，建立数学模型，对模型求解并用于实际问题的处理，它可以训练学生分析问题以及综合运用数学知识解决实际问题的有效方法，这也是其得到各方面广泛关注，并迅速发展为我国高等数学教学领域重要活动的原因。

由前所述，线性代数这门课程具有高度抽象的特点，如果可以先用实际问题让学生分析，观察问题特点，讨论并总结原因，发现问题，就可以提高学生的学习兴趣以及对相关内容的理解及应用。而这一方法在教学中的融入可以采取二种方式：

第一种方法，参照数学建模的团队模式，采用分小组合作讨论的方式对指定的问题进行分析，写出报告并引出对新理论知识的需求。

现实问题可以在生活中发现，也可以通过教师在科研活动中的积累而得。比如，在讲授矩阵特征值和特征向量时可以让学生组成学习小组先分析下面的现象：

一种昆虫，第一组为幼虫(不产卵)，第二组每个成虫在两周内平均产卵100个，第三组每个成虫在两周内平均产卵150个。假设每个卵的成活率为0.09，第一组和第二组的昆虫能顺利进入下一个成虫组的存活率分别为0.1和0.2。假设现有三个组的昆虫各100只，计算第2周、第4周、第6周后各个周龄的昆虫数目，并考虑下面问题：

(1)以两周为一时间段，分析这种昆虫各周龄组数目演变趋势。在两个相邻的时间段，各周龄组的昆虫数目变化的比例是否有一个稳定值?昆虫数目是无限增长还是趋于灭亡?原因是什么?

(2)如果使用一种除虫剂可以控制昆虫的数目，使得各组昆虫的成活率减半，问这种除虫剂是否有效?

这种问题也可针对外来物种入侵，如喜量莲子草、飞蛾等，而这些是农业，林业及卫生防疫部门关心的问题(当然，这也和数值线性代数密切相关，而这正是大多数工程问题需要的重要工具)。这样做的目的是：

(1)学生可以通过解决实际问题建立学习新的线性代数理论知识的兴趣，并通过实践过程学习发现数学规律，建立信心，通过将自己的观点在小组阐述，提高分析及解决问题以及表达自己观点的能力。

(2)通过团队讨论学会团队协作精神并合作完成报告，提高写作技巧和自我表达能力。这种报告需要充分展现自己的观点，仔细的写作，这些对今后在职业生涯中的创造性表现都大有帮助。由于要利用计算机和数学软件(如MATLAB)，这可以帮助他们建立抽象数学和可视化的联系，实际上先做可视化模拟，再建立抽象理论已经是科学研究的一条重要途径。

(3)学生可以更深入的了解线性代数的三个基本成分(理论，计算，应用)，了解矩阵和线性代数的优美，并乐于接受新的理论以及将其用于实际问题的分析及探讨上。

(4)学与思的结合是最好的学习方法。通过这种教学，学生必须要搜索所学的知识，从而使零散的知识系统化。

这种方法在一定程度上会影响课程内容的讲授，如果学时不够，班级人数过多，就更加难以实现。电子科技大学秉着培养创新型人才的理念，已经开始了这方面的尝试。

第二种方法，在课堂讲授时适当列举一些和所讲内容相关的实际问题。

仍以特征值的教学为例，上面的昆虫繁衍问题就可以花一点时间讲解，而对于工科学生而言，可以列举的同其专业相关的实际问题就更多了，这点可以在前面阐述的线性代数课程扮演的角色中可以找到。

无论是哪一种教学方法，都要求教师在备课中了解及准备这方面的素材。这方面的材料可以从很多的专业教材上获得。如果平时的科研工作有交叉学科的背景，在选用问题时更可以得心应手。这实际上就要求教学和科研的充分结合。

本科教学过程具有很强的探索性，它不仅要传授知识，传承文明，还担负着发现未知和培养学生探求新知能力的任务。因此，本科教学过程本身就蕴含着教学与科研两种因素，两者是紧密结合在一起的。科研工作会使教师形成一种特殊的精神气质，包括创新意识、实践精神、好奇心和进取心、独立探索的自觉性以及怀疑精神等。经常开展科学研究的教师，由于在开展科研的过程中必然要查阅大量的文献资料，了解现阶段本专业方向上的最新发展动态。比如，通过“计算电磁学中大规模线性代数方程组的高效求解技术”讨论班，很多线性代数课程教师便了解了线性代数在经典物理问题数值求解中的应用，因此，在举出和所讲的“线性代数与空间解析几何”知识点相关的应用例子时更可以得心应手。简言之，课堂教学会更有弹性，更有引力和说服力。

综上所述，在“线性代数与空间解析几何”教学中贯穿数学建模思想，等于教给学生一种好的思想方法，更是给学生一把开启成功大门的钥匙，为学生架起一座从数学知识到实际问题的桥梁，使学生能灵活地根据实际问题构建出合理的数学模型，得心应手地解决问题。总之，数学建模的思想和方法已经并将越来越受到教育界、工业界等社会各方的重视。如何能更有效地将数学建模思想融入大学数学教育是一个有待深入研究和实践的工作。我们认为以科研工作为基础，在教学工作中融入数学建模思想是一条较好的途径。因为它能培养学生观察、阅读、分析、讨论、判断、推理能力；能培养学生的创新能力；能使学生接受到潜移默化的科学研究方式方法的教育，使学生养成良好的设计问题、分析问题、解决问题的习惯，为今后在具体工作岗位上为社会作贡献奠定基础。

[责任编辑：文和平]