二元一次方程组中考题赏析

朱元生

随着课程改革的进一步推进，中考中出现了不少新题型.命题者往往给出一些新情境，设置一些新问题，以考查同学们的应变能力和创新能力.现就2008年中考中有关方程组的新题型，精选几例介绍如下，供同学们参考.

例1 （2008年·温州） 温州皮鞋畅销世界，享誉全球．某皮鞋专卖店老板对第一季度男、女皮鞋的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图1）．三月份由于开展促销活动，男、女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%和60%．已知第一季度男、女皮鞋的销售总收入为200万元．

（1）一月份销售收入是万元，二月份销售收入是万元，三月份销售收入是万元.

（2）二月份男、女皮鞋的销售收入各是多少万元？

分析：这是一道将方程组和统计图有机结合的好题.从统计图中采集信息是解题的关键.先根据扇形统计图所反映的第一季度男、女皮鞋的销售收入百分比，求得一、二、三月的收入.再根据二、三月的收入和三月男、女皮鞋的销售收入的增长率，通过方程组分别求得二月男、女皮鞋的销售收入.

解：（1）第一季度男、女皮鞋的销售总收入为200万元，从扇形统计图

可以得到：一月份的销售收入为200×25%=50（万元），二月份的销售收入为200×30%=60（万元），三月份的销售收入为200×45%=90（万元）.

（2）由（1）知，二月份销售收入为60万元，三月份销售收入为90万元.又由题设，三月份男、女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%和60%．

设二月份男皮鞋的销售收入为x万元，女皮鞋的销售收入为y万元.

根据题意，可得x+y=60，（1+40%）x+（1+60%）y=90.解得：x=30，y=30.

∴ 二月份男皮鞋的销售收入为30万元，女皮鞋的销售收入为30万元.

评注：要学会从统计图中获取全部的有价值的信息.

例2 （2008年·内江）有甲、乙、丙三种商品.如果购甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱；如果购甲1件、乙2件、丙3件，共需285元钱.那么，购甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱？

分析：设购1件甲、乙、丙商品分别需要x元、y元、z元，根据题意，只能列出两个方程.三个未知数两个方程，难以求得x、y和z的值.而本例只要求算出购甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱，故可整体求解.

解：设购甲种商品1件需x元，购乙种商品1件需y元，购丙种商品1件需z元.

根据题意，可得3x+2y+z=315，x+2y+3z=285.两式相加，得4x+4y+4z=600.

∴ x+y+z=150.

所以，购甲、乙、丙三种商品各1件共需150元钱．

评注：本题也可通过方程组，解出其中任两个未知数（用第三个未知数表示），然后代入x+y+z中，即可求得结果.

例3 （2008年·内江）汶川大地震后，某药业生产厂家为支援灾区人民，准备捐赠320箱某种急需药品.该厂备有甲、乙两种型号的货车多辆.如果单独用甲型号车若干辆，则装满每车后还余20箱未装；如果单独用同样辆数的乙型号车装，则装完后还可以再装30箱.已知装满时，每辆甲型号车比乙型号车少装10箱．求甲、乙两型号车每辆车装满时各能装多少箱药品.

分析：这是一道比较特殊的应用题.若按常规设未知数，不易理清数量之间的关系，难以列方程.而根据具体问题，恰当增设辅助元，能使数量关系一目了然，使复杂问题迎刃而解.

解：设甲型号车每辆车装满时，能装x箱药品，则乙型号车每辆车装满时，能装x+10箱药品.增设辅助未知数，设“单独用车”时是用a辆车.

根据题意，得ax=320-20，a（x+10）=320+30.两方程相减得a=5，代入可解得x=60，则x+10=70.

∴ 甲型号车每辆车装满时，能装60箱药品；乙型号车每辆车装满时，能装70箱药品.

评注：列出的方程组形式上并不是二元一次方程组，但如果视ax为一个未知数，a为一个未知数，就可以转化为我们熟悉的方程组了.列方程组解应用题，技巧性强.有时需根据具体问题恰当增设辅助未知数，以使问题化难为易.如果不设辅助未知数，则可根据题意列出=，再求解.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。