教学参考反例有误与答案重建

郭绍兵　曹斌昌

义务教育课程标准实验教科书华东版数学九年级下册第29章82页习题29.2第5题：

ァ耙蛔槎员呦嗟龋一组对角相等的四边形是否一定是平行四边形？如果是，请给出证明、如果不一定是，请举出反例.”

ビ胫配套的《教师用书》数学九年级下册第96页给出的第5题参考答案是：

ァ安灰欢. 作△ABD，使△ABD的三边各不相等，不妨设BD最长，以BD为对称轴作△ABD的对称△CBD，则在四边形ABCD中，AB=CB，∠A=∠C，但四边形ABCD不是平行四边形.”

ノ颐潜缚巫樵在每周二，第三、四节数学教研活动例会上，对此作一专题进行过研讨，大家一致认为，参考答案中“不一定”正确，但所举“反例”有误，并进行了答案重建.

1 按参考答案作图分析

ネ1由对称性可知：如图1，AB=CB，∠A=∠C.

ザ鳤B=CB是“一组邻边”，这与习题中的题设“一组对边相等”不吻合，理所当然就不能说明习题中的结论了.

2 习题答案重新建构

シ掷嗵致郏

问题情景1 在四边形ABCD中，已知AB=CD，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 如图2，过A点作AE⊥BC交于点E，过C点作CF⊥AD交于点F，并且连结AC.

ヒ蛭狝B=CD，∠B=∠D（已知），而∠AEB=∠CFD=Rt∠（已作）.

ニ以△ABE≌△CDF（AAS），所以BE=DF，AE=CF（全等三角形对应边相等）.

ビ諥C为公共边，所以由勾股定理可得EC2=AC2-AE2，AF2=AC2-CF2，所以EC=AF，所以BE+EC=DF+AF，即BC=AD.

ビ忠蛭狝B=CD（已知），所以四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

问题情景2 反例. 如图3，△ABC是等腰三角形，E为底边BC上一点，EB》EC，当∠EAC=∠AED，DE=AC时，△AED≌△EAC（SAS），所以∠D=∠C.

ゼ础螪=∠B，ED=AB（符合题设），但显然四边形ABCD不是平行四边形.

プ凵纤述：答案是不一定，反例为问题情景2.

テ涫担如果我们利用圆的知识加以刻画本题，将更加深入.

问题情景3 反例. 如图4，在鰽BCE中，作△ACE的外接圆O，再以C为圆心，CE为半径画弧与⊙O交于点D,则∠B=∠E=∠D，AB=CE=CD，但是四边形ABCD并不是平行四边形.

ビ汕榫2和情景3可以看出，情景1证明中的问题的症结了，即过C点作AD边的垂线CF，垂足F不一定在线段AD上. 但对情景1的特殊四边形结论是成立的.