滚出来的问题

丁文江

圆的滚动问题是近几年中考中经常出现的问题，但是相当多的同学对此类问题在理解上存在问题. 针对此问题，我作如下的解释：

如果一半径为R的圆从一条长为2πR的线段AB一端A点出发，向B点滚动，那么圆需要滚动几圈？如图（1）：这个问题很容易解决，由2πR2πR=1，可知滚动一圆即可.

现在我们改变运动的路径，当线段AB为一条折线段的时候如图（2），它的长度仍为2πR，此时折角为120°，大家考虑，圆需要滚动几圈？特别关注的是在折点处，这个时候圆有一种运动趋势，自己需自转60°的角度，结合前一种情况我们很容易知道，此时对圆来说多滚动了60°×πR180°=13πR，即16圈，也就是说从A点滚动到B点需76圈. 如果折角变为一般的角度θ（0°≤θ≤180°）时,此时圆应多自转(180°-θ)×πR180°, 即180°-θ360°圈，总的来看圆需滚动1圈又(180°-θ)360°圈.

当由折线变为正三角形的时候如图（4），它的周长度仍为2πR，由于出现了三个60°折角，那么圆围绕正三角形转一轴，则其自己应多转一圈，即其从出发点再到出发点需转两圈.

当所围绕的图形为正方形的时候如图（5），它的周长度仍为2πR，同样它也应自转两圈. 那么我们可以想到当图形变为正五边形的时候如图（6），它的周长度仍为2πR，会出现什么样的结果呢？不难猜想也应为两圈.

通过上述的一系列问题我们把所围绕的对象变化为任意的多边形的时候，我们可以得到如下的结论对于圆来说都应该比原来多转一圈. 如果任意多边形的周长为L,则圆绕多边形旋转一周，所转的圈数为L2πR+1圈，如图（7）. 如果是一圆绕另一圆旋转如图（8），那么我们很容易得到所转的圈数为R璓R璒+1圈.

有这么一个问题（襄樊市中考题）如图（9）：⊙O的半径为r，⊙O1、⊙O2的半径均为r1，⊙O1与⊙O内切，沿⊙O内侧滚动m圈后回到原来的位置，⊙O2与⊙O外切并沿⊙O外侧滚动n圈后回到原来的位置，则m、n大小关系是（ ）

A.m>nB.m=n

C.m

对于这个问题除了上述问题之外，还牵扯到内侧滚动的问题，那么对于该问题在处理的时候，只要细加思考我们便知：内侧滚动的时候，无非少转了一圈，所以我们就很容易判断选择答案C.

综上所述，我们可以知道，在以后的考试中如果再出现类似的问题，采用此种考虑问题的方法，或许很容易解决的. 当然，在考虑此种问题时可能有漏洞，望批评指正.

プ髡呒蚪椋憾∥慕，1974年2生，山东省东营市人，中学一级教师. 主要研究数学教学及教研教改. 7次获得优秀教师荣誉称号，2000年获得县优秀教师荣誉称号，2007年被评为“丁庄镇首届星级教师”. 多篇论文发表或获奖.