认识负数以后

吕广春

进入七年级,认识负数以后,数的范围扩大了,也带来了一系列的变化.如果仍以小学时的一些观点看待问题,就难免出错.下面请吕老师给我们谈以下几个关键性的问题.

一､认清0不再是最小的数

在小学学过的数中,0是最小的数.但认识负数以后,0已不再是最小的数了.它小于一切正数,大于一切负数.它是正数与负数的分界.在实际问题中,0有确定的意义.例如,在表示温度时,0℃表示水开始结冰时的温度;在地形图上表示某地的高度时,海拔高度为0米,表示该地与海平面持平,等等.再如,回答在有理数中有没有最小的整数时,有些同学由于对数的概念还停留在小学阶段学的算术数的范围,所以有时会错答为0,正确答案应是没有最小的整数.回答有没有最大的负整数时,有些同学可能会受到“没有最大的正整数”或分不清负数的大小的影响,而找不到最大的负整数,正确答案是有最大的负整数-1.不是正数的数中0是最大的数,这种说法是正确的,正好与小学里所形成的根深蒂固的结论“0是最小的数”截然相反,因此会在一些同学心中形成较大的反差而感到意外.

二､识别用字母表示的数

在有理数中,除0以外的数,都带有一个表示正､负的符号“+”与“-”,这两个符号贯穿于整个初中数学中,其中“+”号可以省略.这与小学所学的数是不同的.这样一来,在有理数中就多了一个判断一个数是正数还是负数的问题.特别是对用字母表示的数,我们就不能简单地根据它前面的“+”､“-”号来判断它是正数还是负数.有些同学忽视了这一点,认为a是省略了“+”号的数,一定表示正数,而-a带有“-”号,一定表示负数.其实,这里a前面的“-”号是表示“-a”是a的相反数.而这里的a可以表示一个正数,也可以表示一个负数,还可以表示0.当a表示一个正数时,“-a”就表示一个负数;当a表示一个负数时,“-a”反而表示一个正数;当a表示0时,“-a”则表示0,既不表示正数,也不表示负数.例如,当a表示-1时,-a表示它的相反数+1,是一个正数;当a表示0时,-a表示它的相反数0.所以-a不一定是负数,一定要纠正“前面带‘+号的字母表示正数,带‘-号的字母表示负数”的错误认识.

三､理顺性质符号与运算符号

在小学里,“+”､ “-”号表示运算符号,分别读作“加”和“减”,在有理数中,“+”､ “-”号既可以表示运算符号,也可以表示性质符号.表示运算符号时仍分别读作“加”和“减”,表示性质符号时分别读作“正”和“负”,但必须分清场合.例如,在“试比较+与-的大小”这句话中,+只能读作“正三分之二”,不能读作“加三分之二”;-只能读作“负五分之二”,不能读作“减五分之二”.再如,在(-a)-(+b)+(+3c)中括号内的“+”､ “-”号都是性质符号,括号外的都是运算符号,而对3a-b中的“-”号,如看成性质符号则应是3a加负b,即3a+(-b),如看成运算符号则应是3a减b,即3a-b.不能看做既是运算符号又是性质符号.在特殊场合,“-”号既不宜读作“减”,也不能读作“负”,例如,在“-0=0”中,既不宜读作“减零等于零”,也不能读成“负零等于零”.因为0是唯一没有符号的数,这里的“-”号表示相反数的意义,因此应读为“零的相反数等于零”.又如对“-a2”中的“-”号,虽然可以读作“负”,但容易与(-a)2的读法相混淆,因此读成“a的平方的相反数”,就可以避免这个问题出现了.

当然,我们在处理相关符号问题时,并不严格追究其符号是性质符号,还是运算符号,而只是运用“同号得正,异号得负”这一法则来解题.例如,2+(-5)-(-6)中的(-5)前是加号,而-5本身是负号,根据法则可知+(-5)=-5,同样(-6)前是减号,而-6本身是负号,由同号得正可知-(-6)=6.这样理解,就可轻而易举地解决头痛的符号问题了.

四､明确一种相依关系

互为相反数的两个数之间是一种“相依关系”,二者相互依存,又相互对立.例如,-3和3互为相反数,那就是说-3是3的相反数;反之,3也是-3的相反数.可见相反数是指一对数.互为相反数的两个数一般是不同的,但有唯一的例外,即0的相反数是0.

任意一个非零有理数,总可以看成由“符号”和“符号后面的数字”这两部分构成的.例如,“-5”的符号是“-”, “+5”的符号是“+”,而符号后面的数都是5,“-5”和“+5”互为相反数.这两个数的符号相反,而符号后面的数字相同,因此互为相反数的两个数可以认为是只有符号不同的两个数.例如,6和-6互为相反数,但6和-9就不是互为相反数.可见要表示一个数的相反数,只要在这个数的前面添上一个“-”号,即a的相反数可用“-a”表示.如9的相反数是-9,-3的相反数是-(-3),即-(-3)=3.

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