等腰三角形在生活中的应用

左加亭

等腰三角形是特殊的三角形，其特殊性质在解决实际问题时，有着广泛的应用．下面举几个例子，与大家共同探讨．

例1一艘轮船由南向北航行，速度为15海里/时.在A处测得小岛P在轮船的北偏西15°方向上.两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上.已知在小岛P周围18海里内有暗礁.若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？

解析：根据题意画出图形如图1，则AB=15×2=30（海里）．

过P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，由在A点、B点测得的方位角可知∠PAB=15°，∠PBC=30°．

∴∠APB=∠PBC-∠PAB=30°-15°=15°．

∴AB=PB．

在Rt△BCP中，

∵∠PBC=30°，∴PC=1/2PB=1/2AB=15（海里）．

即点C距小岛P的距离只有15海里，而小岛周围18海里内有暗礁，所以该船继续向北航行有触礁的危险．

规律总结：解此类问题，应首先正确画出图形，然后将实际问题转化成数学问题．作垂线是解这类题常用的方法之一.

例2某中学学生在工厂学习时，看到工人师傅在材料的边角处画直角采用“三弧法”．如图2所示，（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，相交于点C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径画弧，交AC的延长线于D；（3）连接DB，则∠ABD为直角．这是为什么呢？

解析：易知△ABC为等边三角形，△BCD是等腰三角形，进而可得一方程，解出即可．

由画法可知，AB=AC=BC=CD．

∵ AC=BC，∴∠A=∠1．

∵CB=CD，∴∠D=∠2．

∵∠A+∠1+∠2+∠D=180°，

∴2∠1+2∠2=180°，∠1+∠2=90°，即∠ABD=90°．

规律总结：在三角形中求角的度数，有时还可借助于“等边三角形的每个角都是60°”来解决．比如本题，可知∠1=60°.又△BCD为等腰三角形，且易知∠BCD=120°，故∠2=30°.相加即得结论.

例3东风汽车公司冲压汽车零件后剩余的废料都是形状为等腰三角形的小钢板，如图3，其中AB=AC.该厂为了降低生产成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，但要求零件的形状都要是矩形．

现在要求把如图3所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每个钢板切割的次数最多为两次（切割的损失忽略不计）．

（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明.

（2）若该三角形废料切割后能焊接成正方形零件（要求只切割一次），则该三角形应满足什么条件？

解析：等腰三角形切割后焊接成矩形的方法很多，但解此题时要注意切割次数最多为两次的条件．

（1）方案一：如图4所示．

方案二：如图5所示（虚线为切割线，M、N分别为AB、AC中点，MP⊥BC）．

（2）若要把三角形废料只切割一次后焊接成正方形零件，则三角形应为等腰直角三角形．

规律总结：应用几何知识设计图形，要勤于动脑，可能的情况下要善于动手操作．