谈因式分解的实际应用

周奕生

因式分解不仅在数学解题中有着十分重要的作用，而且在实际生活中也有同样重要的应用，请看：

例1小明初中毕业后到一家农场当仓管员，负责每天进出仓粮食的记录和统计．一天，共进了15卡车的粮食，每车装有315袋．之后来了45家客户，每家拉走95袋．问：这一天进出仓粮食相抵后实际上进仓了多少袋粮食？

分析：所求的结果实际上是算式15×315－45×95的值．在没有计算器的情况下，如何简便计算呢？同学们或许已想到了运用因式分解的提取公因式法．不错！提取公因数15，得：

原式＝15×（315－3×95）．

再提取5，得：

原式＝15×5（63－3×19）．

再提取3，得：

原式＝15×5×3（21－19）＝15×5×3×2＝450．

解：略．

例2小亮家的责任田是一块边长为146 m的正方形，去年在这块田中间挖了一个边长为54 m的正方形鱼塘，问：小亮家的责任田还有多少平方米？

分析：显然，余下的责任田面积为（1462－542） m2．在没有计算器的情况下如何简便计算呢？还是运用因式分解，运用平方差公式，得：

原式＝（146＋54）（146－54）＝200×92＝18 400．

解：略．

例3小华家有一块边长为7．6 m的正方形花圃．今年又扩建了一个“L”型花圃，与原来的正方形花圃组成一个较大的正方形（如右图）．已知“L”型中那块小正方形的边长是2．4 m．小华说扩建后花圃的总面积是（7．62＋2×7．6×2．4＋2．42） m2．你认为小华说的正确吗？如果正确，请你帮她算一算这花圃究竟有多少平方米．

分析：小华说的没错，她是把扩建后的花圃划分为四块来计算的，其中两块正方形的面积分别是7．62 m2和2．42 m2，另外两块是相同的矩形，面积都是7．6×2．4 m2，因此，扩建后花圃的总面积为（7．62＋2×7．6×2．4＋2．42） m2．如何简便计算这个算式的值呢？还是因式分解．由完全平方公式，得：

原式＝（7．6＋2．4）2＝102＝100．

解：略．

例4小新的爸爸是公司的会计．一天，小新发现他爸爸正在制作一张职工花名册，他突然想知道公司里究竟有多少人．爸爸告诉他：这张表格有多少格就有多少人．小新仔细算了一下：这张表格的行数与列数相同，都是96，因此，共有962格，也就是说公司共有962人．可是如何简便计算呢？行数与列数要是恰好是100那该多好啊！你能帮小新一把吗？

解：962＝962－16＋16

＝（962－42）＋16

＝（96＋4）（96－4）＋16

＝100×92＋16

＝9 216．

例5一群孩子在操场上玩游戏．小新数了一下这些孩子的人数，然后告诉小华说：这群孩子如果加上8人，可排成一个正方形方阵；如果减少8人，也可以排成正方形方阵.问：这群孩子共有多少人？

解：设这群孩子有a人，加上8人后可排成x行x列，减少8人后可排成y行y列，则x2＝a＋8，

y2＝a－8．

两式相减，得x2－y2＝16．

左边因式分解，得

（x＋y）（x－y）＝16．

显然，x＋y＞x－y，且x、y都是正整数，而x＋y与x－y的奇偶性相同，所以x＋y＝8，x－y＝2．

解得x＝5，y＝3．

从而a＝17.

因此，这群孩子有17人.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文