一类含变时滞的退化中立型系统的鲁棒稳定性

杜　珺　蒋　威

（1. 安徽大学数学科学学院，安徽合肥230039；2. 淮南师范学院数学与计算科学系， 安徽淮南232001）

摘要： 讨论了一类含变时滞和非线性不确定项的退化中立型系统的鲁棒稳定性，借助于新 算子的稳定性，将含变时滞和非线性不确定项的一般中立型系统推广到退化系统中，利用李 亚 普诺夫方法和线性矩阵不等式给出了一个新的依赖时滞的稳定性判据，相比已有文献具有较 低的保守性，最后通过Matlab实现可以验证该判据的有效性和先进性。

关键词：退化中立型时滞系统；线性矩阵不等式；鲁棒稳定性

中图分类号： O175.13文献标识码：A[WT]文章编号：16721098(2008)02008405

Robust Stability of Degenerate Neutral Systems with

Timevarying Delay and Nonlinear Uncertainties

DU Jun1，2,JIANG Wei1

(1. School of Mathematics, Anhui University, Hefei Anhui 230039, China; 2. Depar tment of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University, Huain an Anhui 232001, China) Abstract: In the paper Robust stability of degenerate neutral systems with time varying delay and nonlinear uncertainties was discussed. The neutral system withtimevarying delay and nonlinear uncertainties was generalized to the degenera t e system in terms of the stability of a new operator . A new delaydependent st a bility criterion is presented by Lyapunov method and linear matrix inequalities.It is less conservative than previous methods. Its validity and advancement canbe proved by LMI Toolbox in Matlab.

Key words:degenerate neutral system;LMI;Robust stability

众所周知，时滞是造成动力系统不稳定的根源之一，而且时滞广泛存在于许 多工业和工程系统中，如通讯网络、工业生产和生物研究等等。但在许多实践过程中，系统 的稳定性是一个非常必要的条件，因而近年来，人们对各种各样的时滞系统的稳定性分析做 了大量的工作［12］。而作为一类特殊类型的中立型系统的稳定性分析更得到了许 多学者的广泛关注［34］。但这些文献大多关于一般中立型系统的稳定性分析，而 相应的退化中立型系统的稳定性分析所见文献较少。

本文主要研究具有参数不确定性的非线性退化中立型时滞系统的稳定性问题，旨在通过一个 新算子獶的稳定性，并利用一个新的Lyapunov能量函数得到具有较低保守性的时滞依赖 型稳定性的充分性判据。通过和现有的结论相比较，本文不仅将一般系统推广到退化系统中 ［5］，而且大大降低了保守性。

1问题描述

考虑如下含变时滞和非线性不确定项的退化中立型系统

是连续初始向量值函数，n维向量f(x(t),t)和g(x(t-τ(t)),t)分 别是关于当前状态x(t)和滞后状态x(t-τ(t))У姆窍咝圆蝗范ㄏ睿满足И衪＞0

‖f(x(t),t)‖≤α‖x(t)‖

‖g(x(t-τ(t)),t)‖≤β‖x(t-τ(t))‖(3)

其中α，β为已知常数。E，C，A，B，F，G是已知的n维常数矩阵且E满足秩(E)=r＜n进一步考虑系统中含有不确定性，用以下形式给出

其中獳，B，F，G是已知的n维常数矩阵， Δ獳(t) , Δ獴(t), Δ獸(t), Δ獹(t)是随时间t变化的n维矩阵，满足

包含不确定性的实矩阵，满足

∑i(t)∑琓i(t)≤I(i=1,2,3,4)(5)

本文将给出一个判定条件来判断上述系统的稳定性，首先引入一个新的玭维向量y(t)， 给出式（1）的等价形式，即

引理1令f(x),y1(t),y2(t),…，yk(t)是某些非 负泛函或非负函数，且定义以下两个条件［6］ (2) 存在标量ε1≥0,ε2≥0,…，εk≥0,使得

S(ε，x)=f(x)-∑[DD(]k[]j=1[DD)]εjyj(x)≥0,则由条件（2）可推出条件（1）。 в捎谥泉(E)=r＜n，故存在非奇异矩阵P1,Q 1使得

P1EQ1=[JB(［]E1000P1CQ1=[JB(［]C11C12 C21C2（8）若В麮2｜≠0时，则存在适当维数的非奇异常数矩阵P2,Q2使得

P2EQ2=[JB(［]E1000P2CQ2=[JB(［]C100C2

其中C1=C11-C12C-12C21А

为方便起见，定义算子獶∶C(［-h,0］,R琻)→R琻为D(xt)=Ex( t)-Cx(t-h)，算子D的稳定性定义为若齐次差分方程［7］А

D(xt)=0,t≥0,x0=φ∈｛Ψ∈C(［-h,0］,R琻)∶DΨ=0｝У牧憬庖恢陆ソ稳定，则称算子D∶C(［-h,0］,R琻)→R琻是稳定的。

引理2定义算子D～(xt)∶C(［-h,0 ］,R琻)→R琻为［8］

D～(xt)=x(t)-Cx(t-h)

若А珻‖＜1，则算子D～(xt)是稳定的，其中‖• ‖是任意矩阵范数。

引理3若式（8）中E1，C1，C2满足‖E -11C1‖＜1且｜C2｜≠0，则 算子D是稳定的［9］。

2主要结果

首先考虑式（1）。由于式（1）和式（6）的等价性，故对式（1）的稳定性分析可以转化为 对式（6）的稳定性分析。对式（6）有以下定理。

定理1若算子D稳定且存在实数矩阵P 2, P3, X12, X13,X23和对称正定矩阵P1, X11, X22, X33,Q, R和标量ε1≥0，ε2≥0使得下列线性矩阵不等式[JB(［][HL(6]∑11[]∑12[]∑13[]P琓2C[]P琓2F[]P琓 2G

*[]-P3-P琓3+τ[TX-]X33+R[]P琓3B[]P琓3C[]P琓3F[]P T3G

则式（6）是渐近稳定的。

证明构造以下Lyapunov泛函

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)+V5(t)

其中

现在考虑玍对时间t的导数，有

V[DD(-*2]•1(t)=2［x琓(t)y琓(t)］[JB(［][HL (2]P1[]P琓20[]P琓3[HL)][JB)］][JB(［]x[DD(-1*9]•(t)0[JB)］]=

2［x琓(t)y琓(t)］[HL(2]P1[]P琓20[]P琓3[HL)][ZK)]

y(t)

-Ey(t)+Cy(t-h)+Ax(t)+Bx(t-τ(t))+

由引理1得И笑恰0都有V[DD(-*2]•(t)≤η琓∑0η＜0，再由式(9)得：存在标量γ＞0，使得V [DD(-*2]•(t)≤-γ‖x(t)‖ 而由引理3保证了D(xt)=Ex(t)-Cx(t-h)У奈榷ㄐ裕因此式（6）是渐近稳定的。

根据定理1，给出含不确定项的退化中立型系统式（1）和式（2）的鲁棒稳定性判据。

定理2若算子D稳定且存在实数矩阵P 2,P3,X12 ,X13,X23、对称正定矩阵P1,X11 ,X22,X33,Q,R和标量ε i≥0(i=1,2,3,4,5,6)В使得式(10)和下列线性矩阵不等注1利用Matlab线性矩阵不等式工具箱［9］，在不 需要任何参数的条件下能直接验证线性矩阵不等式（9）和式（11）的可行性［10］ 。

注2如果将定理1和定理2中的条件Е覽DD(-*2] •(t)≤τ[DD(-1*9]＾＜1改为τ[DD(-*2]•(t)≤τ[DD(-1*9]＾В则定理1和定理2的结 果仍然成立。

3结论

本文主要利用线性矩阵不等式和Lyapunov方法获得了一类含变时滞和非线性不确定项的退化 中立型系统的鲁棒稳定性的新判据。借助新的算子獶的稳定性，将含变时滞和非线性不 确定项的一般中立型系统推广到相应的退化系统中，相比于已有文献具有较低的保守性，最 后通过Matlab实现可以验证该判据的有效性和先进性。

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(责任编辑：何学华)