再保险对带干扰Ｐｏｉｓｓｏｎ风险模型破产时间的影响

马　驰　张洪涛

（安徽理工大学理学院，安徽淮南232001）

摘要： 联系现实中保险公司的经营行为，建立一类理赔额受限的带干扰Poisson风险模型， 运用鞅论的方法，分析再保险方式对该风险模型资金盈余首次到达0时刻的影响，得到它的 矩母函数和数学期望，并通过与不采用再保险方式的带Poisson风险模型资金盈余首次到达0 的期望时间的比较，发现再保险方式是分散保险公司经营风险的非常有效的一种途径。

关键词：鞅；再保险；风险模型；破产时间；停时

中图分类号：O211.9文献标识码：A[WT]文章编号：16721098(2008)02007803

The Influence of Reinsurance on Bankruptcy Time

of Poisson Risk Model with Diffusion

MA Chi，ZHANG Hongtao

(School of Sciences, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 2 32001, China) Abstract: According to business practice of insurance companies, a kind of Poiss on risk model with diffusion with claim limitation was established. By martingal e method the influence of reinsurance ways on the time of companys surplus fun ds firstly reaching zero was analyzed. Its generation function and mathematicalexpectation were obtained. By comparison with the time of companys surplus fun ds firstly reaching zero for the risk model without reinsurance it was found tha t reinsurance is a very effective way for insurance companies to disperse risk.

Key words:martingale; reinsurance; risk model; bankruptcy ti me; stopping time

随着社会经济的发展和现代科学技术的进步，一次事故可能造成的物质损毁和人生伤亡的损 失程度不断扩大，损失较大的巨灾风险若由单个保险人来履行赔偿责任，很可能导致保险人 的财务困难，甚至破产。因此，对保险公司而言，寻求分散风险的有效方法是至关重要的。 一般而言，再保险是保险公司分散风险的较有效的方法。再保险是指保险人在原保险合同的 基础上通过签订在保险合同，将其承担的风险和责任部分或全部转嫁给其它保险人的经营活 动。保险公司通过多种再保险方式达到分散风险、扩大承保能力、提高经济效益等目的，而 风险的分散必然增强保险公司的生存能力，降低其破产的可能性。

文献［1］讨论分析了理赔额受限下的风险过程破产概率所满足的微积分方程，并考虑了三 种特殊情形下的破产概率，即： ① 在理赔时考虑免赔额；② 考虑赔偿限额；③ 同时 考虑免赔额与赔偿限额。

然而在现实生活中，保险公司的“破产”行为发生的可能性非常小的。对保险公司而言，他 们更关心的是公司需要多长时间资金盈余达到一给定数值［23］。本文提出一类理 赔额受限的带干扰Poisson风险模型，分析再保险对破产时间的影响以及风险资金盈余过程 需要多长时间首次到达0。这个时间对保险公司是非常重要的，因为一旦公司的资金盈余达 到零，公司将面临破产的危险。此时，公司需要采取相应的措施以防止破产行为的发生。

1风险模型的建立

考虑如下的风险模型

U(t)=u+ct-∑[DD(]N(t)[]i=1[DD)]Yi+ηW(t)(1)

式中：玼为公司初始资本；玞为公司单位时间内的保费收入；玁(t)表示(0,玹 )时间段内的索赔次数，且是强度为λ的齐次Poisson过程；｛W(t),t≥0｝为一维 标准布朗运动过程，它代表着公司保费收入中的不确定部分，η是一个数；玒i为第i次理赔额，且满足

Yi=[JB(｛]XiXi≤MXi-ZiXi＞M[JB)]

其中：玀为赔偿限额；｛Xi,i≥1｝为独立同分布取正值的随机变量序列，分布函数为F( x)，且EX1=μ1；｛Zi,i≥1｝为独立同分布取正值的随机变量序列，分布函数为G(z) ，且EZ1=μ2；模型中｛Xi,i≥1｝、｛Zi,i≥1｝、｛N(t),t≥0｝与｛W(t),t≥0 ｝是相互独立的。

为保证保险公司正常的经营活动， 假设玞-λ(μ1+μ2)＞0，即保费收入总 是大于理 赔。ビ捎谟余过程｛U(t),t≥0｝是自由跳动的，故对于任意给定的水平x，盈余过程将 不止一次到达水平x。

令玊x=玦nf｛t,U(t)=x｝，即保险公司资金盈余首次到达给定的x的时刻。显然Tx 是一个停时［4］。特别地，保险公司尤其关心的是公司资金盈余首次到达0的时刻， 即T0。

2主要结果

模型式(1)中，保险公司是通过理赔额受限的方式把部分风险分散给了投保人。分散的理赔 额要取决于条件玐i＞M。

令Ri=Ziχ(Xi＞M)

则模型式(1)可改写成

U(t)=u+ct-∑[DD(]N(t)[]i=1[DD)]Xi+∑[DD(]N(t)[]i=1[DD)] Ri+ηW(t)(2)

其中｛Xi,i≥0｝、｛Ri,i≥0｝、｛N(t),t≥0｝与｛W(t),t≥0｝ 是相互独立的。

定理1对于任意常数玶,s，有

模型。采用上述方法可以求出资金盈余到达0时刻玊0的期望为

ET0=[SX(]ue-Ru[]λM′X(R)+η2R-c[SX)]

显然这个数值要比采用再保险方式计算出的数值要小，因此再保险方式是保险公司分散经营 风险的一种有效途径。

参考文献：

［1］何树红，夏梓祥.再保险对时 间盈余风险模型破产概率的影响［J］.云南大学学报（自然版），2004, 26(S):14.［2］高明美，赵明清.双Poisson模型下盈余首次到达给定水平的时间分析［ J］.应用数学, 2002,15(S):170172.

［3］雷晓玲，刘再明.带干扰双Poisson模型盈余首达时间分析［J］. 数学理论 与应用,2005,25(2):7982.

［4］GRANDELL J. Aspects of Risk Theo ry［M］.New York: Springerverlag,1991：3257.(责任编 辑：何学华)