从零向量与任何向量都平行说起

杨冠夏

有的数学老师告诉他的学生，说不要去问那些数学上的规定，为什么要这样规定，说：“没有‘为什么”.对于这种回答，北京22中的孙维刚（1938.12—2002.1）老师的评价是“这太遗憾了，太残酷了”，说这么好的问题，我们老师“求之不得”.身为全国著名的数学特级教师的孙维刚认为“科学上（数学尤其如此）的任何规定，都是有‘为什么的”.[１]

在学平面向量的时候，我们也会遇到一个规定：“零向量与任一向量平行.”[2]

我们也会问，为什么要这样规定，一定要规定零向量与任何向量都平行呢？零向量的方向既然可以是任意的，那么说零向量与a成90°角，成60°角，难道不可以吗？

这个“0∥a”的规定还有更深刻的道理吗？

回答，有.

1 “零向量与任何向量平行”为向量空间概念的形成扫除了障碍

我们知道，向量可以平移.“向量共线”和“向量平行”是同一个概念.

我们假定与某一直线共线（平行）的所有向量组成一个集合A.正是由于规定了零向量与任何向量都平行，才有0∈A.于是这个集合A中的向量才满足下面三条：

1°任给a，b∈A,总有a+b∈A;

2°任给a，c∈A,则必存在b∈A,使a+b=c成立.我们说b=c-a;(只有封闭的运算才有逆运算）.

3°任给a，b∈A,(a≠0),则必存在惟一的实数λ,使b=λa;反之，若a∈A,λ∈R,b=λa,则b∈A.

1°,2°,3°分别说明对于集合A，加法，减法，数乘这三种运算的结果仍然在集合A当中.我们把这分别称做加法、减法和数乘，这三种运算对于集合A是“封闭的”.

如果我们不作“零向量与任何向量都平行”的规定，那么，对于某个共线向量集合A.这有可能0麬.我们给定a∈A.当然-a∈A,然而a+（-a）麬.这样，加法运算对于集合A就不封闭了.类似地，向量的减法、数乘，这两种运算的封闭性也都不成立了.

保持了加法、减法，数乘运算封闭性的每一个共线（平行）向量集合，我们称它为一个一维向量空间.

平面向量对向量加、减、数乘运算也是封闭的，同样的空间向量也具有这种对加、减、数乘的封闭性.平面向量基本定理，空间向量基本定理都是建立在这种对加、减、数乘运算的封闭性之上的.

我们把平面向量集合称为二维向量空间，而空间向量集合则被称为三维向量空间.

如果没有“零向量与任一向量平行”的这一条规定，那么，任何向量空间也都不复存在了.这是因为平面向量基本定理，空间向量基本定理都要以一维向量空间为基础.而没有“零向量与任一向量平行”，就没有一维向量空间.

向量具有维度，这是向量的重要特征.向量维度特征的形成离不开“零向量与任何一向量平行”这个规定.

2 向量是个遵守维度规则却又不受维度限制的量

平面向量可以用这个平面上一个二维基底惟一地线性表示.反过来也对，二维基底的任何一个线性表示，必为这个平面的一个向量.这使得选择恰当的基底表示成为解决平面向量问题的一个方法.

用单位正交基底表示平面向量，便产生了平面向量的坐标表示方法.坐标表示平面向量本质上是平面向量的基底表示的特殊形式.由于它的简便易行，这就形成解决平面向量问题的另一个方法.

上面两个结论都可以推广到三维.三个不共面的向量可以作为空间向量的三维基底.而三维的单位正交基底的特殊形式又派生了空间向量的三维坐标表示.

用三维基底表示空间向量以解决空间向量问题，或者用三维坐标表示空间向量来解决空间向量问题，这是空间向量的两种不同的解题方法.

向量必定要遵守维度规则.这是我们在学习向量过程中要区分平面向量和空间向量的依据.在知识上，它集中体现在平面向量基本定理和空间向量基本定理上面.

让人惊讶的是，向量的运算又表现出不受维度约束的极大的灵活性.表现有二：

其一，不论是平面向量还是空间向量，多个向量的加法都可以首尾相接求和.这个加法操作规则不受向量维度的限制.向量的加减运算可以不通过相应基底或坐标表示而直接操作.

其二，向量的内积a·b,它的运算结果不再是向量，而是一个实数了.向量内积对于任何一个向量集合不再具备前面说的那种运算的封闭性.

为什么a·b不存在逆运算，为什么没有三个以上向量的内积.

你看见a·b=|a||b|cos这个定义在做什么事情了吗？

a+b,a-b,λa(λ∈R),向量加向量，向量减向量，向量乘以一个实数，我们把向量比作硬梆梆的“箭”，那么，它们的运算结果仍旧是硬梆梆的“箭”，它自己就是一枝硬梆梆的可以平移的实体.你需要用模和方向来刻划这个硬梆梆的奇异的量.但是，硬梆梆和硬梆梆的点乘积竟然不再硬梆梆的，竟然“水化了”，变成实数了，在实轴上流淌.如果a⊥b,a与b成90°角，那么a·b=0，a，b的内积还要“气化”呢，比“水化”还要厉害.随着向量a，b夹角的不同，cos让这个投影的“气化”的程度有所不同.

尽管向量内积的这种“水化”和“气化”现象也可以通过向量内积的基底运算和坐标公式反映出来，然而“水化”与“气化”毕竟可以成为向量运算的一个捷径而不再依赖于向量的基底表示或是坐标表示.

a·b=0赼⊥b,cos=a·b|a||b|,

|b||cos|=|a·b||a|,|a|2=a2,

|a·b|≤|a||b|,这样一些让几何代数都受益的美餐都是由向量内积的这种“水化”和“气化”功能烹调而成的.

a·b的这种“水化”“气化”功能的实质，是向量a，b之间投影的运算，是我们通常把它称之为a·b的几何意义的那个实数值.

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