从一道概率题透析杨辉三角的应用

2008-06-02 06:45于发智
中学数学杂志(高中版) 2008年3期
关键词:弹子次序障碍物

于发智

2008年深圳一模数学(理科)第17题:将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是1/2.

(Ⅰ)求小球落入A袋中的概率P(A);

(Ⅱ)在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A袋中的小球个数,试求ξ=3的概率和ξ的数学期望Eξ.

这是一道典型的以杨辉三角为背景的概率应用问题.

对于杨辉三角的构成,还可以有一种有趣的看法.

图1如图1,在一块倾斜的木板上钉上一些正六角形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上部的漏斗直通到下部的长方框子. 把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面,以后,落到第二层中间一个六角板的左边或右边的两个竖直通道里去.

再以后,它又会落到下一层的三个竖直通道之一里面去. 这里,如果要弹子落到最左边的通道里,那么它一定要是从上一层的左边通道里落下来的才行(1个可能情形);同样,如果要它落在最右边的通道里,它也非要从上一层的右边通道里落下来不可(1个可能情形);至于要它落在中间的通道里,那就无论它是从上一层的左边或右边落下来的都可以(2个可能情形).

这样一来,弹子落在第三层(有几个竖直通道就算第几层)的通道里,按左、中、右的次序,分别有1,2,1个可能情形. 不难看出,在再下面的一层(第四层),左、右两个通道都只有1个可能情形(因为只有当弹子是从第三层的左边或右边落下来时才有可能);而中间的两个通道,由于它们可以接受从上一层的中间和一边(靠左的一个可以接受左边,靠右的一个可以接受右边)掉下来的弹子,所以它们所有的可能情形应该分别是第三层的中间和一边(左边或右边)的可能情形相加,即3个可能情形. 因此第四层的通道按从左到右的次序,分别有1,3,3,1个可能情形.

照同样的理由类推下去,我们很容易发现一个事实,就是任何一层的左右两边的通道只有一个可能情形,而其他任何一个通道的可能情形,等于它左右肩上两个通道的可能情形相加. 这正是杨辉三角组成的规则. 于是我们知道,第n+1层通道从左到右,分别有1,C1璶,C2璶,……,Cn-1璶,1个可能情形.

我们还可以这样来看上面的结论:如果在倾斜板上做了n+1层通道,从顶上漏斗里放下1+C1璶+C2璶+…+Cn璶+1颗弹子,让它们自由地落下,掉在下面的n+1个长方框里. 那么分配在各个框子中的弹子的正常数目(按照可能情形来计算),正好是杨辉三角的第n+1行. 注意,这是指“可能性”而不是绝对如此. 这种现象称为概率现象.

点评 本题考查学生的知识迁移能力、化简变形能力和观察问题分析问题的能力.要从表中看出其中的规律是:每一行中的每一个数为其“脚下”两数的和.第二问的关键是进行裂项求和.

“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题.求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系,通常需转化成一阶(或二阶)等差数列结合求和方法来求解.

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