期权隐含波动率估计

　　【摘要】隐含波动率是一个重要的风险指标。本文用牛顿法对其估计并讨论波动率笑容的成因以及在此情况下的估计方法。
　　
　　波动率是对资产收益不确定性的衡量，普遍应用于投资组合选择，资产定价以及风险管理各个方面。对波动率的估计十分重要。波动率的估计主要分类两类：一类是历史估计法；另一类是隐含波动率法。历史波动率法包括简单加权移动平均法，GARCH等方法。但无论是等权重的简单平均还是随机波动的GARCH对真实波动率估计都没有隐含波动率有效。
　　
　　一、隐含波动率估计
　　
　　隐含波动率是指在Black-Scholes（BSM）期权定价的公式中，在其他参数已知的情况下，反解出的波动率， BSM公式如下：
　　其中，C是看涨期权的价值，S为基础资产的现行市价，K是期权和约的执行价格， r是以年利率来表示的无风险利率，T为和约的期限， σ为基础资产收益率的标准差。笔者使用Newton-Raphson方法，迭代公式：
　　确定一个误差门极限值E，当本次迭代的估计误差|Yi+1-P|＜E时，停止迭代。Yi+1是期权的理论价值，P是期权的实际交易价值，这样就能反解出隐含波动率，这个波动率是面向未来的。
　　
　　二、隐含波动率笑容成因及估计
　　
　　隐含波动率不是一个常数。对于同一标的资产来说，波动率应该一致。但事实上不同的到期日和敲定价格会产生不同的隐含波动率，就是所谓波动率笑容。按相同到期日，把执行价格相对于标的资产市场价格的百分比作为自变量（即对执行价格进行了标准化），把相应的隐含波动率作为因变量，可以得到一条隐含波动率随执行价格变化的U型曲线。即当期权处于评价状态附近时，其所对应的隐含波动率处于较低的水平，当期权远离平价状态时，其所对应的隐含波动率将不断增加。会产生这种现象有以下几种解释：
　　（一） 影响要素说认为，期权定价公式所考虑的要素不全，因此无法得到与实际相符合的结果，例如期权在很深的亏价中时，其相应的价格会非常低。做多的势力大于做空的势力，这时真实价格要远高于平价期权理论价格，从而夸大了隐含波动率。也就是说在深度亏价或者盈价期权中，投机者的心理是一个重要因素而未被期权定价公式考虑。
　　（二）交易成本说，把波动率笑容归因于期权定价模型，忽略了交易成本。例如买卖价差，当处于较深的亏价状态时，相对于较低的市场价格，价差就显得比较大，加上价差后实际的市场价格就明显高于理论价格，产生高隐含波动率。
　　（三）分布说认为，股价不服从对数正态分布，而是有很浓的肥尾，即偏态分布，比如分布的右尾越厚，期权的价值将越高于平价期权所计算出的理论价值。还有可能是一种细长峰谷分布。无论出现哪种情况，都将动摇BSM模型基础，即假设股票的价格是呈对数正态分布，而真实分布不是正态时，那么市场价格将不同于该模型的理论价值。
　　隐含波动率还有期限结构问题，即在同一敲定价格上。随着到期日的不同，期权价格不同，隐含波动率也不同。但是随着到期日的增加趋向于长期平均波动率，这就是著名的波动率锥，并且此时波动率的笑容越来越扁平，也就是说笑容将不存在而逐渐趋向一个常数。
　　综上所述，BSM模型隐含波动率是一个长远的平均隐含波动率，从远期来说没有任何问题，但在短期波动率的计算上一定要注意波动率的笑容，对于某一特定标的资产应采用加权隐含波动率。有三种加权法：以交易量，以与平价期权的距离和以各自的Vega为权重加权。
　　1．交易量加权法，对任意一个期权品种权重是该品种期权交易量与该期权总交易量的比值。
　　2．距离加权法，就是以当前标的资产的市场价格S和各期权品种的敲定价格 和我们设置一个阀值A，得出距离公式 Zi=[（|（S-Xi）/S|-A）/A]2来计算。
　　3．Vega加权法，这里的Vega是指期权价格对于标的资产的波动性的敏感系数，公式为
　　最新方法是构造波动率距阵。首先，利用该期权的市场价格，对具有不同敲定价格和不同到期日的期权品种分别计算隐含波动率；其次，将敲定价格标准化，即用敲定价格除以标的资产当时的市场价格；最后，将所得到的隐含波动率按到期日和标准化敲定价格进行排序，就形成了波动率距阵。在此基础上算出波动率笑容指数距阵，即对给定的到期日，用不同的执行价格所对应的隐含波动率除以该到期日平价期权所对应的隐含波动率，再乘以100，就得到所谓的笑容指数（VSI）距阵，可以利用它来估计未来的隐含波动率。首先根据期权定价公式算出当前平价期权的隐含波动率V，再根据到期日和敲定价格在笑容指数距阵中找出对应的VSI，则其波动率就是 V×VSI/100。
　　
　　三、隐含波动率的研究方向
　　
　　当代波动率的研究方向：
　　（一）用新的模型来代替BSM模型，在这个模型中波动率是资产和时间的函数。
　　（二）实际波动率模型，使用高频数据研究日内累计收益平方和并将它作为实际波动率的无偏估计，当抽样频率趋向于无穷时，实际波动率是没有误差的，就是隐含波动率的真实值。
　　本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。